数学分析第一章1.1汇总

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date数学分析第一章-1.1汇总第一章 教学安排的说明第一章 教学安排的说明章节题目：实数集与函数学时分配：共5学时 1 实数（1学时） 2 数集.确界原理 （2学时） 3 函数概念 ( 1学时 ) 4 具有某些特性的函数 (1学时 )教学目的：通过教学，使学生正确理解函数、极限与连续的基本概念，熟练掌握极限的运算。教学要求：1、 掌握实数的各条性质，初步理解上下确界的定义

2、及确界原理的实质。2、正确理解和掌握函数的概念、性质,四则运算,复合函数,反函数的定义。3、掌握基本初等函数的性质及其图形。4、掌握初等函数的性质,了解几个常见非初等函数的定义及性质。5、理解函数的单调性,周期性,奇偶性等,会对初等函数是否具备这些性质。其他：注: 第一章大部分内容中学学过。课 堂 教 学 方 案课题名称、授课时数： 1 实数 1学时 2 数集 确界原理 2学时授课类型：理论课教学方法与手段：讲授为主（部分内容自学）教学目的与要求：1掌握实数的基本概念、基本性质和最常见的不等式,并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性、实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式2. 掌握实数的区间

3、与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念，要求理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。教学重点： 1.实数集的概念性质及应用,；2.数集有界、无界及确界的概念，确界原理。教学难点：数集确界的定义及其应用，确界原理的证明。教学内容首先简要介绍“数学分析”课程的内容：分三个学期；所有内容可分为四部分：1）极限理论，包括数列极限、函数极限及函数的连续性；2）一元函数的微积分，包括导数和微分及其应用、不定积分、定积分及其应用、反常积分；这之间包括第七章实数的完备性；3）级数理论，包括数项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数；4）多元函数的极限与连续，多元函数的微积分，包括多元函

4、数的偏导数与全微分、隐函数定理及其应用、含参变量积分、二重积分、三重积分、曲线积分及曲面积分.数学分析是数学专业的一门重要理论基础课，在之后要学习的课程：复变函数、常微分方程、实变函数都是它最直接的后继课，学好数学分析对这些后继课程的学习是极其重要的，故一定要打好数学分析课程这个理论基础.第一章 实数集与函数 1 实 数复习引新：一、实数集及性质1.实数集 ：回顾中学中关于实数集的定义.2.实数集性质：四则运算封闭性；三歧性( 即有序性 )；Rrchimedes性； 稠密性: 由有理数和无理数的稠密性, 给出实数稠密性的定义；实数集的 几何表示 数轴: 3.两实数相等的充要条件:二. 重要不等

5、式 1. 绝对值不等式: 定义 1P3 的六个不等式. 2. 其他不等式: （1） （2） 均值不等式（3） Bernoulli 不等式:有不等式 （4) 由二项展开式对 有 .在应用时根据需要确定右边的某一项(k的值)。教学内容：数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先简要叙述实数的有关概念.一 实数及其性质：回顾中学中关于有理数和无理数的定义.有理数：无理数：无限十进不循环小数.为了以下讨论的需要，把无限小数（包括整数）也表示为无限小数.对此作如下规定：对于正有限小数（包括正整数），当时，其中为非负整数，记而当为正整数时，则记 例如：记为 ；对于负无限小数（包括负整数），则先将表示

6、为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如-8记为 ；又规定数0 记为.于是任何实数都可用一个确定的无限小数来表示. 我们已经熟知比较两个有理数大小的方法.先定义两个实数的大小关系.实数大小的比较定义1 给定两个非负实数其中 为非负整数，为整数，若有 则称 与 相等，记为；若，或存在非负整数 ，使得 则称 大于 （或 小于 ），分别记为 （或）. 对于负实数，若按上述规定分别有与，则分别称与（或）.另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数.实数的有理数近似表示定义2 设为非负实数，称有理数为实数的位不足近似值，而有理数称为的位过剩近似值。对于负实数 的位不足近似值规定为：；的位过剩近似值规定

7、为： 例如 ，则它的3位不足近似是，3位过剩近似是.4位不足近似是，4位过剩近似是.注 不难看出，实数的不足近似当增大时不减，即有，而过剩近似当增大时不增，即有.比如 ，则 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 称为 的不足近似值； 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 称为 的过剩近似值。 我们有以下的命题 设， 为两个实数，则例1 设为实数，.证明：存在有理数 满足证 由，故存在非负整数，使得，令 则 显然为有理数，且有即得 实数有如下一些主要性质 1、四则运算封闭性:任两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数。 2、有序性:任意两个实数必满足下面三个关系

8、之一：，。 3、实数大小传递性： 4、 阿基米德性（Archimedes）： ，若，则，使得. 5、稠密性: 有理数和无理数的稠密性. 6、实数集的几何表示 数轴（实数的连续性或完备性） 例2 设 .证明:若对证 （反证）倘若结论不成立，则根据实数的有序性，有.令，则为正数且，但这与假设相矛盾.从而必有.练习：习题 3:设 .证明：证 倘若结论不成立，假设那么设，则取，有这与已知的矛盾. 从而必有.二 绝对值与不等式实数的绝对值定义为： 从数轴上看，数的绝对值就是到原点的距离.实数的绝对值有如下一些主要性质 性质4（三角不等式）的证明： 三. 几个重要不等式（补充）: 1、 2、 对 记 (算

9、术平均值) (几何平均值)(调和平均值)有均值不等式: 等号当且仅当 时成立.3、Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过) 对由二项展开式 有: 。课堂练习讨论： （）(2)（1） 5(1)(2) 作业：P4 3题,5题 2 数集 确界原理 本节中先讨论R中两类重要的数集-区间与邻域，然后讨论有界集并给出确界定义和确界原理。一、区间与邻域无穷区间： 0 a 0 a邻域：设，满足绝对值不等式的全体实数集合称为点邻域，记作或，即点的空心邻域为，简记点的右邻域为，简记 点的空心右邻域为，简记点的左邻域为，简记点的空心左邻域为，简记邻域：，其中为充分大的数。-M M邻域：，邻域：二

10、 有界集确界原理定义1设为R中的一个数集，若存在数M（L），使得对一切，都有，则称为有上界（下界）数集，数M（L）称为一个上界（下界）。补充定义对任意，存在，使得，则称S为无界集。 例如：等都是无界数集,若数集即有上界又有下界，则称为有界集。若数集不是有界集，则称为无界集.例1 证明数集有下界而无上界.证 显然，任何一个不大于1的实数都是的下界，故为有下界的数集.为证无上界，按照定义只需证明：对于无论多么大的数，总存在某个正整数，使得.事实上，对任何正数（无论多么大），取则且这就证明了无上界.读者还可自行证明：任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集.若数集有上

11、界，则显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为数集的上确界.同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界. （直观定义）下面给出数集的上确界和下确界的精确定义定义2 设S是R中的一个数集，若数满足：（i）对一切 ，有，即是数集S 的上界；（ii）对任何，存在，使得（即又是S的最小上界或任何一个比小的数都不是S的上界）则称数为数集S的上确界.记作 定义3 设S是R中的一个数集，若数满足：（i）对一切 有，即是数集S 的下界；（ii）对任何存在,使得（即是S的最大下界或任何一个比大的数都不是S的下界 ）则称数为数集S的下确界.记作 上确界与下确界统称为确界。补例 则

12、则 例2 设为区间（0,1）中的有理数。试按上、下确界定义验证：。解 先验证（i）对一切 有，即1是数集S 的上界；（ii）对任何，若，则任取，都有；若，则由有理数集在实数集中的稠密性，在内必有有理数即存在，使得. 类似可验证易证：闭区间的上、下确界分别为1和0；对于数集，有正整数集有下确界，而没有上确界.注1 由上（下）确界的定义可见，若数集存在上（下）确界，则一定是唯一的.又若数集存在上（下）确界，则有. 注2 由上面一些例子可见，数集的确界可以属于，也可以不属于例3 设数集有上确界，证明：证 设则对一切，有，而，故是数集的最大的数，即.设，则；下面验证.（i）对一切，有，即是数集的上界；

13、(ii) 对任何，只需取，则.从而满足确界与最值的关系:（补充）设是一个数集（1）若有最大值M（最小值m），则数集存在上（下）确界，且 的最值必属于, 但确界未必,确界是一种临界点. （2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.（3）若存在上（下）确界属于，则S存在最大值M（最小值m），且定理1.1设为非空数集，若有上界，则必有上确界；若有下确界，则必有下确界. 在本书中确界原理是极限理论的基础，读者应给予充分的重视.例4设和是非空数集，满足对和都有 证明：数集有上确界，数集有下确界，且 （2） 证 是的上界；是的下界，故由确界原理推知数集有上确界，数集有下确界.现证不等式（2）. 是的上界，而由