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1、1 1 1 1111 1 1 11115 异面直线教材分析异面直线是立体几何中十分重要的概念研究空间点、直线和平面之间的各种位置关系必须从异面直 线开始教材首先通过实例让学生弄懂“共面”、“异面”的区别，正确理解“异面”的含义，进而介绍异面直线所 成角及异面直线间的距离，这样处理完全符合学生的认知规律处理好这节内容，可以比较容易地引 导学生实现由平面直观到空间想象的过渡教学重点是异面直线的概念，求异面直线所成的角和异面直线间的距离是这节的难点教学目标1. 理解异面直线的概念，了解空间中的直线的三种位置关系2. 理解异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义，体会空间问题平面化的基本数学思想方法
2、3. 通过异面直线的学习，使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯，培养学生的空间想象能力任务分析空间中的两条直线的位置关系，是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质基础上提出来的学 生对此已有一定的感性认识，但是此认识是肤浅的同时，学生空间想象能力还较薄弱因此，这节 内容课应从简单、直观的图形开始介绍“直观”是这节内容的宗旨多给学生思考的时间和空间，以 有助于空间想象能力的形成异面直线所成的角的意义及求法，充分体现了化归的数学思想要让学 生通过基本问题的解决，进一步体会异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义及其基本求法 教学设计一、问题情境（）1. 同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的
3、两条直线呢？观察教室内的日光灯管所在直线 与黑板的左右两侧所在直线的位置或观察天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线的位置 2. 如图 15-1，长方体 ABCDA B C D 中，线段 A B 所在直线与线段 C C 所在直线的位置关系如何？ 二、建立模型（）1. 首先引导学生观察实例或几何模型，进而发现，空间两直线除平行或相交外，还有一种位置关系： 存在两条直线既不平行又不相交，即不能共面的两直线，并在此基础上总结出异面直线的定义 2. 在学生讨论归纳异面直线定义的基础上，教师概括：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫 作异面直线强调：（1）所谓异面，即不共面，所以它们既不平行，也不相
4、交（2）“不共面”，指不在任何一个平面内，关键是“任何”二字3. 先让学生总结空间中两条直线的位置关系，然后教师明晰（1） 共面与异面共面分为平行和相交（2） 有无公共点有且仅有一个公共点相交直线，无公共点 _ 平行直线和异面 直线4. 异面直线的画法先让学生体会下列图形，并让其指出哪些更为直观显然，图 15-2 或图 15-3 较好因此，当表示异面直线时，以平面衬托可以显示得更清楚三、问题情境（2）刻画两条平行直线位置通常用距离，两条相交直线通常用角度，那么，如何刻画两条异面直线的相对 位置呢？容易想象要用角和距离，如何定义异面直线的角和距离呢？下面探究一个具体的问题： 如图，在正方体 AB
5、CDA B C D 中，1. 我们知道 AB 与 A B 是共面的，它们成的角是 45，那么异面直线 AB 与 D C 所成的角定义为多少 度的角比较合理呢？1111112. 回忆我们已学过的“距离”概念，发现“距离”具有“最小性”，现在直线 AB 和 D C 上各取一点，这两 点必然存在距离，试问在这所有可能的距离中，是否存在两点，这两点间距离最短？进一步思考：如何定义异面直线 AB 和 D C 间的距离？四、建立模型（2）在学生充分讨论、探究的基础上，抽象概括出异面直线所成的角和异面直线间的距离的概念 1. 异面直线 a 与 b 所成的角已知两条异面直线 a，b经过空间任一点 O，作直线
6、aa，bb，我们把 a与 b所成的锐角（或直 角），叫作异面直线 a 与 b 所成的角强调：（1）“空间角”是通过“平面角”来定义的（2） “空间角”的大小，与空间点 O 的选取无关，依据是“等角定理”为简便，点 O 常取在两条异面 直线中的一条上（3） 异面直线所成角的范围是 090（4） 异面直线垂直的意义今后所说的两直线垂直，可能是相交直线，也可能是异面直线 2. 对于问题 2，学生讨论，可以发现：线段BC 是在异面直线 AB 和 D C 上各任取一点，且两点间的 距离为异面直线 AB 和 D C 间的最小值此时，我们就说 BC 的长度就是 AB 和 D C 的距离 引导学生观察、分析线
7、段 BC 与 AB，D C 之间的关系，得出公垂线段定义：和两条异面直线都垂直 且相交的线段强调：（1）“垂直”与“相交”同时成立（2）公垂线段的长度定义为异面直线间的距离五、解释应用例 题1. 如图，点 D 是ABC 所在平面外一点，求证直线 AB 与直线 CD 是异面直线注：主要考查异面直线的定义，这里可考虑用反证法证明要让学生体会用反证法的缘由 2. 已知：如图，已知正方体 ABCDABCD（1） 哪些棱所在直线与直线 BA是异面直线？（2） 直线 BA和 CC的夹角是多少？（3） 哪些棱所在直线与直线 AA垂直？（4） 直线 BB与 DC 间距离是多少？注：主要是理解、巩固有关异面直线
8、的一些基本概念解题格式 要规范，合理练 习1. 如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？2. 垂直于同一条直线的两条直线是否平行？3. 与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是怎样的？4. 已知：如图，在长方体 ABCDABCD中，AB2，AD2，AA2（1） BC 和 AC所成角是多少度？（2） AA和 BC所成角是多少度？（3） AA和 BC 所成的角和距离是多少？（4） AB 与 BC 所成的角是多少？（5） AC与 BD 所成的角是多少？四、拓展延伸1. 判断异面直线除了定义之外，还有如下依据：过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该 点的
9、直线是异面直线请给以证明2. 设点 P 是直线 l 外的一定点，过 P 与 l 成 30角的异面直线有 _ 条（无数）3. 已知异面直线 a 与 b 成 50角，P 为空间任一点，则过点 P 且与 a，b 所成的角都是 30的直线有 _ 条（2）若 a 与 b 所成的角是 60，65和 70呢？点评这篇案例设计思路完整，条理清晰案例首先通过直观的图形引出定义，这样有利于学生的接受然 后探索了异面直线所成角与异面直线间距离的概念探索过程有利于激发了学生的学习热情，体验科 学思维方法列举的例题有针对性，对知识的巩固和形成起到了很好的作用“拓展延伸”中提出的问 题旨在开拓学生解题思路，增强学生空间想象能力
