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1、棒球最佳击球点研究模型摘要本文针对棒球的“最佳击球点”进行了研究，建立了初等模型，逐步分析棒球上最佳击球点的位置，并在此基础上分析出不同材质球棒对“最佳击球点”的影响。对问题一，首先根据球棒的外部特征，画出几何示意图（见图1），把抽象问题具体化，对其进行定量分析。然后结合击球方式，由物理知识可得，本题可运用动量守恒定理、角动量守恒定理、和恢复系数建立刚动力学模型，可以求出球飞离球棒的瞬间速度表达式：带入木质棒球的参数数据可以求得：普通木质球棒的“最佳击球点”为巨棒手柄端点70cm处。对问题二，本文针对不同材料的球棒的物理性质变化进行了分析，从球棒的属性：质量、质心、能量出发，着重分析了转动惯量
2、和恢复系数的不同对击球效果的影响，得出铝质球棒击出速度远大于木质球棒，能够显著提高球的速度。但是在体育比赛中，会导致体育“装备竞赛”的发生，因此有的比赛会禁止使用铝质的击球棒。对于此问题，我们的创新点有：1我们建立了初等模型求出了棒球的“最佳击球点”，此点位于距棒球手柄70 cm处。2对于不同材料（木质与铝质）的球棒，我们分别从定性和定量分析，得出了铝棒能显著提高击球瞬间的速度。由于在比赛中能形成“装备竞赛”，从而失去比赛的观赏性，所以有的比赛铝棒是被禁用的。关键词：最佳击球点 恢复系数 转动惯量 动力学模型1问题重述在棒球击球棒较宽的那部分有一个“好位置”，使用那个“好位置”击打球，给球的力
3、量是最大的。这个位置为什么不在击球棒的最外端呢？从力矩方面分析似乎用击球棒的最外端击球力量最大，但事实上根据我们的经验，这是不对的。第一个问题：建立一个模型来解释这个问题。第二个问题：你们建立的模型能不能解释不同材料（分木制和铝制两种情况）的击球棒对这个“好位置”的影响？。解释一下为什么有的比赛会禁止使用铝制的击球棒。2模型的假设结合本题实际，为了确保模型的可行性和准确性，我们排出了一些因素的干扰，做出以下假设：表一：1球棒击球时，球的飞出速度与球棒的中心轴线正交2球棒的形状、质量、尺寸相同3整个过程中，不计空气阻力，忽略球棒与球碰撞时的摩擦力4球在飞行过程中不自转3符号说明 M：棒重.P：木
4、质密度.：球的质量.：球棒的质量.：碰撞前球的速度.：碰撞后球的速度.：碰撞前棒的质心速度.：碰撞后棒的质心速度.：球棒击球前的角速度.：球棒击球后的角速度.4模型的分析和求解我们根据球棒的外部特征，画出棒球的截面示意图如下：图一 4.1问题一的分析与求解 4.1.1问题一的分析 本题是对球棒上最佳击球点的研究，通过物理学分析我们知道所谓的最佳击球点就是球飞离球棒时获得最大速度。速度最大时，即是加速度最大，也就是作用力最大，将球、棒视为刚体，可以将“球棒”看做一个系统，并把它作为研究对象建立经典力学模型进行分析，利用“动量守恒定律”、“角动量守恒定律”和“恢复系数”研究击球位置与球离开速度的关
5、系，就可以可得到力矩最大并不代表作用力最大。4.1.2问题一的求解 碰撞瞬间，球、棒间的作用力远大于球、棒的重力、手的支持力，因此，以球-棒系统为研究对象，y轴方向上有动量守恒：其中为为球的质量，为球棒的质量，为碰撞前球的速度，为碰撞后球的速度，为碰撞前棒的质心速度，为碰撞后棒的质心速度。设球棒击球前后的角速度分别为、,则：，恢复系数为碰撞接触点碰撞前相对接近除以相对远离速度，即： 以身体重心轴为轴建立球-棒的角动量守恒方程，以球棒质心为轴，球-棒系统无外力矩，因此角动量守恒，即：由可得碰撞后的球速表达式为：其中转动惯量可由细棒的转动惯量近似求得，即：由初始数据（表 ）：参数数值m0.142k
6、gv27.7m/se0.5w17.288rad/s可得由编程：建立M文件fun1.m:function f=fun1(x)f=(-3.9334*x2+5.601312*x+2.9916)/0.358;输入命令：fplot(fun1,0,1);xlabel(击球点与球棒较小端的距离(m);ylabel(碰撞后小球的速度(m/s);title(示意图);gtext(木);由图可得： 这个好位置在离棒球手柄70cm处，并不在击棒球的最外端4.2问题二的分析与求解 4.2.1问题二的分析 问题二要求分析不同材料（分木质和铝质两种情况）的击球棒对这个“好位置”的影响。因为铝制球棒击打球后的速度的表达式已
7、由第一问建立的模型求出，只是相应参数改变，所以可以由此模型解决不同材料的击球棒在“好位置”的影响，由模型知球碰撞后的速度为 。分析木质球棒与铝质球棒主要区别有: 木质球棒多是由枫树做成的，木棒与铝棒相比木棒的把手通常比较粗而铝棒比较细，这是因为把手比较细容易折断。两种材质的球棒质心不同，铝棒的质心相对于棒更加靠近握棒点。由于铝棒是中空的，所以蹦床效果更加明显，因为铝棒的恢复系数较大，所以当球速相同时，撞击铝棒的球形变更小，击打后球速较大。所以通过定性分析，我们认为铝棒比木棒击球更加有效。4.2.2问题二的求解我们做定量分析，密度不同、质量不同导致的转动量不同；材料的不同导致恢复系数不同、弹性系
8、数不同。假设两种球棒的外形与前面的抽象模型相同，从转动惯量、恢复系数的角度研究两种材质的球棒的性能，带入相应数据（表）： 参数数值m0.142kgJ0.186e0.9v27.7m/sw17.288rad/s将铝棒的参数代入式由程序：建立M 文件fun2.m:function f=fun2(x)f=(6.1*x-4.1606*x2+4.90482)/0.328;输入命令：fplot(fun1,0,1);hold onfplot(fun2,0,1);xlabel(击球点与球棒较小端的距离(m);ylabel(碰撞后小球的速度(m/s);title(示意图);gtext(木);gtext(铝)可以得
9、到击球点与球速的关系如下图:由图明显可知：铝制球棒比木质球棒使用“好位置”击球后小球速度大很多，则铝制球棒能明显提高击球效果，这样就显示不出运动员的击球技能，并会导致体育“装备竞赛”的误区，所以有的比赛会禁止使用铝制的击球棒。5模型的评价参考文献1MATLAB语言与数学实验、江世宏编著。北京：科学出版社，20072物理学教程。上册、马文蔚，周雨青编。2版.北京：高等教育出版社，2006.11（2010重印）附录动量守恒定律：当系统所受合外力为零，即时，系统的总动量的增量亦为零，即。这是系统的总动量保持不变，即恒矢量这就是动量守恒定律，它的表述为：当系统所受合外力为零时，系统的总动量将保持不变。
10、刚体定轴转动的角动量守恒定律：刚体绕定轴转动的角动量：一刚体以角速度绕定轴做圆周运动.质点对轴的角动量为；于是刚体上所有质点对轴的角动量，即刚体绕定轴的角动量为式中（）为刚体绕定轴的转动惯量。于是刚体对定轴的角动量为。 当合外力矩为零时，可得：恒量，如果物体所受的合外力矩为零，或者不受外力矩的作用，物体的角动量保持不变，这个结论叫做角动量守恒定律 恢复系数： 两物体碰撞后的分离速度与碰撞前的接近速度成正比，这个比值叫做恢复系数。如果碰撞为弹性碰撞，则恢复系数为 1，满足机械能守恒；如果为非弹性碰撞，则恢复系数1，不满足机械能守恒，一部分能量转变为内能，但是动量守恒是始终满足的；完全非弹性碰撞为
11、0，两个物体基本上是黏贴在一起，没有任何弹跳运动。 方程式: 两个物体碰撞的恢复系数 CR 的方程式为 这里， V1 是第一个物体在碰撞前的速度， V2 是第二个物体在碰撞前的速度， V1f 是第一个物体在碰撞后的速度， V2f 是第二个物体在碰撞后的速度。 质心：质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。与重心不同的是，质心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心不通常在同一假想点上。 在一个N维空间中的质量中心，座标系计算公式为： X表示某一坐标轴表示物质系统中，某质点的质量， 表示物质系统中，某质点的坐标。问题一的初始数据表：参数数值0.142kgv27.7m/se0.517.288rad/s问题二的初始数据表： 参数数值m0.142kgJ0.186e0.9v27.7m/sw17.288rad/s问题一的击球点与球速的关系如下图：问题二的击球点与球速的关系如下图：8
