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1、 2012-2013年度课程论文写作论文名称：分类讨论思想在高中数学中的运用专业：数学与应用数学作者姓名：罗小露班级：11级1班学号：20112201044联系电话（长短号）：15603061633QQ：1025748775分类讨论思想在高中数学中的运用罗小露 数学科学学院 20112201044【摘要】本文将对高中数学常用的数学思想之一分类讨论思想进行探究，介绍了分类讨论思想在高中数学中的常见应用以及其局限性。【关键字】应用 参数 定义 公式 定理 局限性一、前言高中数学常用的数学思想包括数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想以及转化（化归）思想，在此主要要探讨研究的是分类讨论思想。何为
2、分类讨论思想？在解决数学问题时，有时候会出现多种情况，需要将情况分类、求解，然后再综合得解，这运用的就是分类讨论思想。分类讨论是解决问题的重要策略之一，不知不觉我们常会用到分类讨论。其实，从刚接触数学开始，分类讨论这一思想我们就开始慢慢形成，简单至对多个计算结果检验是否符合题意也包含了分类讨论思想。二、分类讨论思想的常见应用1.应用于含有参数的问题 参数可能存在于几乎所有的数学问题中（集合问题，函数问题，三角函数问题，向量问题，数列问题，不等式问题，立体几何问题，平面解析几何问题，统计问题，概率问题等）。一般地，参数值的不确定性，使得问题会出现多种情况，从而需要用到分类讨论。这种分类讨论题型可
3、以称为含参型。 在此以集合问题、函数问题以及平面解析几何问题进行分析： 【例一】 已知集合A=x|a+1x2a-1,集合B=x|- x2,若A包含于B，求a的取值范围。分析：首先注意到集合A中含有参数，所以使得集合A有两种情况，为空集或为非空集，从而易然而然用到分类讨论。解：若A为空集，则：2a-1a+1 解得:a- 2a-12 解得：- a 与a2矛盾，不成立 a+1=- 即a=- 与a2矛盾，不成立 综合得：a的取值范围为：a-这一不等式是否可取端点值进行了分类，方法是将端点值代入集合A中，检验是否符合题意：A包含于B。【例二】已知抛物线y2=2px（p0）的焦点为，是抛物线上横坐标为，且
4、位于x轴上方的点，到抛物线准线的距离等于，过作垂直于y轴，垂足为，的中点为.（）求抛物线的方程；（）过作，垂足为，求点的坐标；（）以为圆心，为半径作圆，当（m，0）是x轴上的一动点时，讨论直线与圆的位置关系.分析：要用到分类讨论的是第（3）小题，涉及到直线，因为参数m是否等于4，决定了直线斜率是否存在，从而使得直线方程表示不同。而在后面参数m的值又影响了判直线与圆M的关系的判断，所以需要再分类讨论。解：（）易得抛物线方程y2=4x （）不难求得（）.（）圆的圆心为点（，），半径为，（，） 当m=4时，l:x，直线与圆相离； 当m时，l：y（x-m），即4x-（4-m）y-4m=0，圆心（，）到
5、直线的距离（i） 若d2，即m1，则直线与圆相离；（ii） 若d=2，即m=1，则直线与圆相切；（iii） 若d2，即m1，则直线与圆相交.【注意】（）的难度虽不算大，但却是一个二级分类讨论。这里提一下分类讨论的“级别”。二级讨论的结构模式是：其他级别讨论的结构模式类似。级别越高的分类讨论对思维有越高的要求，需要做到逻辑清晰、条理清楚。分级分类讨论中各级的号码要有明确的区别，同级的号码要有统一的格式，以避免混乱而失去条理性.在一级分类中，也可省略编号.【小结】通过以上例题可知，无论参数出现在什么类型的题目中，只要明确参数的存在对解题造成了怎样的阻碍，通过分类讨论，消除这种阻碍，就可以使问题得到
6、解决。但需要注意一点，不能形成定势思维：有参数就一定要分类讨论。例如：已知函数f(x)= x+x+(a-4)x在(1, +)是增函数，求实数a的取值范围。这一题要求的是参数的取值范围，做法如下：得：f(x)=x+a-4a=4-(x+)4-(x+)=2显然可见，这道题并不需要用到分类讨论。其实，关于参数的问题可以涉及到很多方面。是否要用到分类讨论，要具体情况具体分析，关键看参数值的不确定性是否阻碍了问题的解决，不能一概而论。2.应用于涉及的数学概念是分类进行定义的问题在中学数学中，有些概念本身就是通过分类进行定义的，譬如：分段函数（不同的自变量值有不同的对应关系），绝对值（可以看作是一个特殊的分
7、段函数），直线的斜率（存在或是不存在）等等。所以，在解决涉及分类进行定义的数学概念的问题时，经常会用到分类讨论。这种分类讨论题型可以称为概念型。【例1】a=是直线ax2y3与直线xa(a1)y6垂直的什么条件？分析：在解决直线垂直的问题时，通常采用的方法是两直线斜率k1k2=1。关键是涉及到直线的斜率问题，就应该考虑斜率不存在的情况，这也是此类题目的易错易漏之处。显然可知，当一条直线斜率不存在，而另一条直线斜率为0也是直线垂直的一种情况。所以，要用到分类讨论。解：若两直线斜率都存在，则： k1k2= 1 解得：a=若一条直线斜率不存在，而另一条直线斜率为0，则：k1=0 a(a1)=0 解得：
8、a=0综合得：要是该两条直线垂直，a=或0所以答案是：充分不必要条件【例2】设函数f(x)=x -3x,求过点A（1，2）的切线方程解析：由题意得，该切线过点A，而易知：点A在f(x)的图像上。所以会出现两种情况：点A是切点或不是切点，从而需要用到分类讨论。解：得：f(x)=3x-3若A是切点,k=f(1)=0切线方程为：y=2若A不是切点，设切点为（x,y），其中，x1则： y=x -3xk=f(x)=3x-3 解得：x=1（舍去）综合得：所求切线方程为：y=2【小结】在解决涉及分类进行定义的数学概念的问题时，就要考虑是否需要对这多种情况分类来逐一解决。但同样地，不能一概而论，不能说遇到这种
9、问题就直接采用分类讨论。有时候采用其他途径能够更加快速地解决问题，分类讨论反而会显得麻烦。例如：求解方程：|x-1|-|x-2|=0如果采用分类讨论，要分成三类：x1,1x0）.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是 .分析：根据题意就可知，有两种情况，一是拼成三棱柱，二是拼成四棱柱，所以运用分类讨论。解：拼成三棱柱时，将第二个放置在第一个上面，并使两底重合，这时三棱柱的全面积为a2+48； 拼成四棱柱时，将底边长为5a、高为的面重合，这时四棱柱的全面积最小为a2+，（a2-5）0， 解得0a.【例二】前面的解题步骤之后使情况变得不确定已知
10、函数f(x)=x2+lnx+(a-4)x在(1,+)上是增函数(1)求实数a的取值范围(2)在(1)的结论下，设g(x)=|ex-a|+,x0, 3,求函数g(x)的最小值。 分析：第(2)小题要求函数的最小值，关键要先把函数化简。由于函数带有绝对值，绝对值中又含有参数，而在第(1)小题下，有a2，绝对值去不掉，所以首先要对参数a分类讨论，将绝对值去掉，从而化简g(x)为熟悉的函数。解：(1)通过分离常数易得：a2(2)设t= ex,则h(t)=|t-a|+ 0x3 1t3若2a3,则h(t)= a-t+, 1ta t-a+, a3,则h(t)=a-t+, 1t3 此时，h(t)的最小值为：a
11、-3+三、分类讨论思想的局限性虽然分类讨论思想很实用，也很常用，但是正是因为要分类，所以使得问题变得比较麻烦。换而言之，我认为如果可以把需要分类讨论的问题转化为不需分类讨论的问题，反而会是简单而便捷的方法。这里介绍一下简化或避免分类讨论的策略：(1)消去参数。既然参数带来不确定性，对于含参的题目，可以尝试把参数消掉，从而达到避免分类讨论的效果。例：设0x0且a1，比较与的大小.解：作商：/ =/= |log(1+ x )( 1- x ) | = - log(1+ x )( 1- x ) 0x1 1-x=(1+x)(1-x)1 1-x log(1+ x )(1-x) -(-1)=1,故 【点评】用作商法，从而把参数a消掉，避免了要讨论0a1。(3)转换主元。通过转换主元，避免对原来的主元进行分类讨论。例：对任意a-1,1,函数f(x)=x+(a-
