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1、复合函数单调性的求法与含参数问题若，又，且值域与定义域的交集不空，则函数叫的复合函数，其中叫外层函数，叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。 对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种常见题型：（一）求复合函数表达式 例、（1）设 f(x)=2x-3 g(x)=x2+2 求fg(x)（或gf(x)）。（2）已知：f(x)=x2-x+3 求：f() f(x+1)（二）求复合函数相关定义域一、已知的定义域，求复合函数的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若的定义域为，求出中的解的范围，
2、即为的定义域。例1 已知的定义域为，求定义域。 解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即 即或故的定义域为【评注】所谓定义域是指函数中自变量的取值范围，因此我们可以直接将复合函数中看成一个整体，即由可得，解出的范围即可。（2006年湖北卷）设，则的定义域为 （B） A. B. C. D. 二、已知复合函数的定义域，求的定义域方法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。例2 若函数的定义域为，求函数的定义域解 ， ，故函数的定义域为【评注】由的定义域为得，有的同学会误将此的范围当作的定义域，为了更易分清此非彼，我们可将令成一个整体，即，先解出的定义域，即为的定义域。 三
3、、已知复合函数的定义域，求的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。 例3 已知的定义域为，求的定义域。 解 由的定义域为得，故即得定义域为，从而得到，所以故得函数的定义域为 四、已知的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 例4 已知函数定义域为是，且求函数的定义域 解 ，又 要使函数的定义域为非空集合，必须且只需，即，这时函数的定义域为【评注】由于所得不等式组中两个不等式的四个“端点”都含有字母，所以既要
4、分别判断它们左、右端点值的大小，还要交叉判断第一个不等式的左端点与第二个不等式的右端点和第一个不等式的右端点与第二个不等式的左端点的大小，需要特别指出的是，函数的定义域不能是空集。（三）复合函数的单调性有以下结论：u=g(x)增函数增函数减函数减函数y=f(u)增函数减函数增函数减函数y=fg(x)增函数减函数减函数增函数 判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性。 一、外函数与内函数只有一种单调性的复合
5、型：例1已知函数y=loga(2-ax)在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是( )(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).2，+)解：设y= logau，u=2-ax，a是底数，所以a0， 函数y=loga u在u0,1上是减函数，而u=2-ax在区间x0,1上是减函数， y= logau是u(0, +)上的增函数，故a1，还要使2-ax0在区间上总成立，令g(x)= 2-ax，由 ，解得a2，1a0知函数的定义域为x0，因y= log0.5u在u(0,+)上是减函数，而u= x2+4x+4在x(-，-2)上是减函数，在(-2，+ )上是增函数，根据复合规律知，
6、函数y=log0.5(x2+4x+4) 在x(-，-2)上是增函数.例3.讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。 解：函数定义域为R。 令u=x2-4x+3，y=0.8u。 指数函数y=0.8u在(-，+)上是减函数， u=x2-4x+3在(-，2上是减函数，在2，+)上是增函数， 函数y=0.8x2-4x+3在(-，2上是增函数，在2，+)上是减函数。 这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R，无需转化为自变量的取值范围。三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：例4 在下列各区间中，函数y=sin(x+)的单调递增区间是( )(A).， (B).0， (C).-，0
7、 (D). ， 解：令y=sinu，u=x+，y=sinu在u 2k- ，2k+ (kZ)上单调递增，在u 2k+ ，2k+ (kZ)上单调递增，而u=x+在R上是增函数，根据函数单调性的复合规律，由2k- x+2k+ 得2k- x2k+，当k=0时，- x，而0，- ，故选(B) .例5.讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。 解：显然函数定义域为(0，+)。 令 u=log2x，y=u2+u u=log2x在(0，+)上是增函数， y=u2+u在(-，上是减函数，在，+)上是增函数(注意(-，及，+)是u的取值范围)因为ulog2x，0x，(u log2x x) 所以y=(lo
8、g2x)2+log2x在(0，上是减函数，在，+)上是增函数。四、外函数与内函数都有两种单调性的复合型： 例6、(89全国理)已知函数f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) ( )(A).在区间(-1，0)上是减函数； (B).在区间(0， 1)上是减函数；(C).在区间(-2，0)上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是增函数.解：令g(x)=f(u)=-(u-1) 2+9，u=2-x2，则(1) g(x) =-(u-1) 2+9在u(-，1上是增函数，与u=2-x2具有相同的增减性，由2-x21得 x-1或x1，而u在x(-，-1上是增函数，u在x1,+)
9、上是减函数，g(x)在区间(-，-1上是增函数, 在区间1，+)上是减函数.(2) g(x) =-(u-1) 2+9在u1,+)上是减函数，与u=2-x2具有相反的增减性，由2-x21得 -1x1，而u=2-x2在x -1,0 上是增函数，在x(0， 1)上是减函数，g(x) =-(u-1) 2+9在区间-1，0上是减函数, 在区间(0，1)上是增函数.故选(A)（四）利用复合函数求参数取值范围 求参数的取值范围是一类重要问题，解题关键是建立关于这个参数的不等式组，必须将已知的所有条件加以转化。例1.已知函数f(x)=(x2-ax+3a)在区间2，+)上是减函数，则实数a的取值范围是_。 分析
10、如下： 令u=x2-ax+3a，y=u 因为y=u在(0，+)上是减函数 f(x)=(x2-ax+3a)在2，+)上是减函数 u=x2-ax+3a在2，+)上是增函数，且对任意x2，+)，都有u0。对称轴x=在2的左侧或过(2，0)点，且u(2)0。 -4a4 例2.若f(x)=loga(3-ax)在0，1上是减函数，则a的取值范围是_。 令u=-ax+30，y=logau，由于a作对数的底数，所以a0且a1，由u=-ax+30得x。在0，1上，且u是减函数。 f(x)=loga(3-ax)在0，1上是减函数。 y=logau是增函数，且0，1(-， 1a3 所以a的取值范围是(1，3)。复合
11、函数习题1函数lgf(x)g(x)的定义域为M，lgf(x)的定义域为N，lgg(x)的定义域为P，则M、N、P间的关系是 （ A ）A、M（NP） B、MNP C、M=（NP） D、M（NP）2若g(x)是奇函数，且F(x)=ag(x)+bx3+5在（0，+）内有最大值12，则F(x)在（，0）内有 （ D ） A、最小值12 B、最大值12 C、最小值2 D、最小值2求下列复合函数的单调区间.（1）y=log3(x22x);(答：(，0)是单调减区间，(2，+)是单调增区间.)（2）y=(x23x+2)；(答：(，1)是单调增区间，(2，+)是单调减区间.)（3）y=,(答：2，是单调增区间，3是单调减区间.)（4）y=;(答：(，0)，(0，+)均为单调增区间.注意，单调区间之间不可以取并集.)（5）y=;(答(，0)为单调增区间，(0，+)为单调减区间) 若y = f ( x ) 的定义域是0，1，则 f ( x + a ) + f (2 x + a) ( )的定义域为（ A）关于x的函数在1，+上为减函数，则实数a的取值范围是 ( D ） A（,0） B(1,0) C(0,2D(,1)
