《二次函数知识点.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二次函数知识点.doc（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二次函数的定义1.一般地，形如 （为常数，）的函数称为的二次函数，其中为自变量，为因变量，分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二、二次函数的性质1二次函数的性质：（1） 抛物线的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是（ 轴）.（2） 函数的图像与的符号关系. 当时抛物线开口向上顶点为其最低点； 当时抛物线开口向下顶点为其最高点；的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增
2、大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值2. 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值3. 二次函数的相关性质若二次函数解析式为（或）()，则：（1） 开口方向：， （2） 对称轴：（或），（3） 顶点坐标：（或）（4） 最值： 时有最小值（或）（如图1）； 时有最大值（或）（如图2）； （5）单调性：二次函数（）的变化情况（增减性） 如图1所示，当时，对称轴左侧，随着的增大而减小，在对称轴的右侧 ，随的增大而增大； 如图2所
3、示，当时，对称轴左侧， y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小；（6）与坐标轴的交点：与轴的交点：（0，C）；与轴的交点：使方程（或）成立的值.3. 二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.三、二次函数的图像与系数关系1. 决定抛物线的开口方向： 当时抛物线开口向上；当时抛物线开口向下决定抛物线
4、的开口大小：越大，抛物线开口越小； 越小，抛物线开口越大.注：几条抛物线的解析式中，若相等，则其形状相同，即若相等，则开口及形状相同，若互为相反数，则形状相同、开口相反.2. 和共同决定抛物线对称轴的位置.（对称轴为：）当时，抛物线的对称轴为轴；当同号时，对称轴在轴的左侧；当异号时，对称轴在轴的右侧.3. 的大小决定抛物线与轴交点的位置.（抛物线与轴的交点为）当时，抛物线与轴的交点为原点；当时，交点在轴的正半轴；当时，交点在轴的负半轴.板块二二次函数图像特征函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时，开口向上当时，开口向下（轴）（轴）二、二次函数的三种表达方式（1）一般式：（2）顶点式：（3）双根式
5、（交点式）：2.如何设点： 一次函数（）图像上的任意点可设为.其中时，该点为直线与轴交点. 二次函数（）图像上的任意一点可设为.时，该点为抛物线与轴交点，当时，该点为抛物线顶点 点关于的对称点为4.如何设解析式： 已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式； 已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式； 已知抛物线与的两个交点坐标，可用交点式求解二次函数解析式. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）注：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物
6、线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.一、二次函数与一次函数的联系一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.二、二次函数与方程、不等式的联系1.二次函数与一元二次方程的联系：1.直线与抛物线的交点: （1）轴与抛物线得交点为(0, ). （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). （3）抛物线与轴的交点:二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两
7、个交点抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.（5）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故2.二次函数常用解题方法 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，
8、可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.3.二次函数与一元二次方程之根的分布（选讲）所谓一元二次方程，实质就是其相应二次函数的零点（图象与轴的交点问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的
9、实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的设的二实根为，且是预先给定的两个实数 当两根都在区间内，方程系数所满足的充要条件：，对应的二次函数的图象有下列两种情形：当时的充要条件是：，当时的充要条件是：，两种情形合并后的充要条件是： 当两根中有且仅有一根在区间内，方程系数所满足的充要条件；或，对应的函数的图象有下列四种情形：从四种情形得充要条件是： 当两根都不在区间内方程系数所满足的充要条件：当两根分别在区间的两旁时；对应的函数的图象有下列两种情形：当时的充要条件是：，当时充要条件是：，两种情形合并后的充要条件是：， 当两根分别在区间之外的同侧时：或，对应
10、函数的图象有下列四种情形：当时的充要条件是：， 当时的充要条件是：， 4区间根定理如果在区间上有，则至少存在一个，使得此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力二次函数与三角形在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法：1.如图，过三角形的某个顶点作与轴或轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加 其中,两点坐标可以通过或的直线方程以及或点坐标得到2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积
11、，然后再减去矩形内其他各块面积. 所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用4.如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积该方法不常用，如果三角形的一条边与平行，则可以快速求解二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”二、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称 关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是 5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是
