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1、一、选择题1(2011高考湖南卷)设双曲线1(a0)的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()A4B3C2 D1解析：选C.渐近线方程可化为yx.双曲线的焦点在x轴上，2，解得a2.由题意知a0，a2.2(2011高考天津卷)已知双曲线1(a0，b0)的左顶点与抛物线y22px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为()A2 B2C4 D4解析：选B.双曲线左顶点为A1(a,0)，渐近线为yx，抛物线y22px(p0)焦点为F，准线为直线x.由题意知2，p4，由题意知2a4，a2.双曲线渐近线yx中与准线x交于(2，1)的渐近线为yx，
2、1(2)，b1.c2a2b25，c，2c2.3设双曲线的左准线与两条渐近线交于A、B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为()A(0，) B(1，)C(，1) D(，)解析：选B.法一：由得A.同理可得B.又左焦点F(c,0)，.点F在以AB为直径的圆内，0，即220，b4a2b2，b2a2，即c2a2a2，c22a2，即e22，e1，1e.法二：由得A.同理可得B.点F(c,0)在以AB为直径的圆内，左焦点F到圆心的距离小于半径长，即cb.e 1，1e0，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()A.1 B
3、.1C.1 D.1解析：选A.双曲线1的渐近线方程为yx，圆C的标准方程为(x3)2y24，圆心为C(3,0)又渐近线方程与圆C相切，即直线bxay0与圆C相切，2，5b24a2.又1的右焦点F2(，0)为圆心C(3,0)，a2b29.由得a25，b24.双曲线的标准方程为1.二、填空题6(2011高考四川卷)双曲线1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是_解析：由1可知a8，b6，则c10，设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，由|PF2|4及双曲线的第一定义得|PF1|16420.设点P到左准线的距离为d，由双曲线的第二定义有，即d16.答案：167(2012高考重庆卷
4、)设P为直线yx与双曲线1(a0，b0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e_.解析：直线yx与双曲线1相交，由消去y得x，又PF1垂直于x轴，c，即e.答案：8已知双曲线x21(b0)的一条渐近线的方程为y2x，则b_.解析：双曲线的焦点在x轴上，2，4.a21，b24.又b0，b2.答案：2三、解答题9由双曲线1上的一点P与左、右两焦点F1、F2构成PF1F2，求PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐标N.解：由双曲线方程知a3，b2，c.当点P在双曲线的右支上时，如右图，根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得|PF1|PF2|2a.由于|NF1|NF
5、2|PF1|PF2|2a.|NF1|NF2|2c.由得|NF1|ac，|ON|NF1|OF1|acca3.故切点N的坐标为(3,0)根据对称性，当P在双曲线左支上时，切点N的坐标为(3,0)10(2012高考四川卷)如图，动点M与两定点A(1,0)、B(1,0)构成MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设直线yxm(m0)与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|PR|，求的取值范围解：(1)设M的坐标为(x，y)，当x1时，直线MA的斜率不存在；当x1时，直线MB的斜率不存在于是x1且x1.此时，MA的斜率为，MB的斜率为.由题意，
6、有4.化简可得，4x2y240.故动点M的轨迹C的方程为4x2y240(x1且x1)(2)由，消去y，可得3x22mxm240.(*)对于方程(*)，其判别式(2m)243(m24)16m2480，而当1或1为方程(*)的根时，m的值为1或1.结合题设(m0)可知，m0且m1.设Q、R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，则xQ，xR为方程(*)的两根因为|PQ|PR|，所以|xQ|1，且 2，所以113，且1，所以13，且.综上所述，的取值范围是.11(探究选做)已知双曲线C：y21，P为C上的任意一点(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值解：(1)证明：设P(x1，y1)是双曲线C上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x2y0和x2y0，点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和，.故点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数(2)设点P的坐标为(x，y)(|x|2)，则|PA|2(x3)2y2(x3)21(x)2，|x|2，当x时，|PA|2取到最小值，即|PA|的最小值为.
