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1、请对照图片内容，把错误的修改过来（图片不要删掉）。然后发邮箱：，谢谢！门 纳 劳 斯梁 宗 巨门纳劳斯(Menelaus of A1exandria) 公元100前后活动于亚历山大及罗马几何学、三角学、天文学托勒密在天文集中记载了门纳劳斯的两次天文观测，时间是公元98年普卢塔克(F1uLarch，约公元46一119年以后，希腊传记作家)在书中描述另一个人和门纳劳斯对话，时间约当公元75年以后，地点是在罗马或其附近帕波斯和普卢塔克都称他为亚历山大的门纳劳斯除此以外，对门纳劳斯的生平便一无所知 托勒密所记载的两次观测一次是月亮掩(occultation)角宿一(Spica，室女座)，另一次是对比古
2、代的记录，门纳劳斯再度证实希帕霍斯发现的岁差现象的存在 在阿拉伯学者伊本纳迪姆(Ibn alNadim，10世纪下半叶)的数学家名录(Fihrist)中，列举了门纳劳斯的著作：球面命题篇(The book on spherical propositions)；不同物体的重量与分类知识(On the knowledge ofhe weights and distribution of different bodies)；几何原理 (Elements of geometry)，此书为塔比伊本库拉(Thbit ibn Qurra，约826901)所校订；三角形篇(Book on triangle)等
3、 又有一些阿拉伯学者推断门纳劳斯曾编过星表而帕波斯说他写了一部关于黄道十二宫(Signs of zodiac)降落的著作 两个半世纪以前，他的前辈希帕霍斯写过黄道十二宫的升起，没有涉及降落的情形门纳劳斯弥补了这一不足， 讨论恒星的升降，需要掌握三角学的知识，门纳劳斯对此是游刃有余的 门纳劳斯诸多著作之中，只有球面学(Spllaer5ca)以阿拉伯文译本的形式流传下来，其余的均已失亿泽者是伊沙格(Ishqibn Hunain，?910年) l)或他的父亲胡奈因(Hunain ibn Isbq，?一877年)以后有几种校订本，著名的有曼苏尔(Manr ibn Irq，1007或1008)的修订本，
4、现藏在莱顿大学图书馆，称为930号莱顿抄本(Codex Leidensis 930)后来杰拉德(克雷莫纳的)(Gerard of Cremona，约1114一1187将此书从阿拉伯文译成拉丁文 而最早出版的拉丁文本是毛罗利科(Frances!o MauroIic。，t 4941575)本(1558年在墨西拿出版)，他所依据的手稿是不完整的，而且加入自己的见解，因此可靠性较差另外又有E哈雷(Halley，16561743)本。他参考了阿拉伯文及希伯来本，自己并作了一些数学处理(1758年出版于牛津)当前较完整的现代语版本是AA布约恩博(Bjrnbo)的德文译本(1)，他主要根据哈雷本及930号莱
5、顿抄本 以后又有M克劳泽(Krause)的德文译本(2)作了修正及补充(1936出版)，这是研究门纳劳斯的两种基本文献 球面学是门纳劳斯的精心杰作，因此书门纳劳斯被尊称为“三角学的奠基者”，而且是第一个使三角学脱离天文学，成为独立学科的人 全书共3卷，卷I开宗明义就给出球面三角形的定义：“在球面上由大圆弧所包围的部分”，又限定“这些弧都小于半圆”这是世界上第一次对球面三角形的明确表达。写作的体例虽然仍遵循希腊的传统，但不拘泥于从最原始的定义出发，如球面上的点、极点、小圆、大圆等，而是直截了当指明要讨论的对象前人已给出的概念和命题，此处作为已知来使用， 根据怕波斯的记载，门纳劳斯称球面三角形为“
6、三边形”（thr-eeside)，以区别于平面几何中的三角形(triangle)(3，II、p262)按阿拉伯文版本，他在献给某位王子时宣称：“我发现了一种极好的推理证明方法。”这是可信的，球面三角的许多重要内容，都是门纳劳斯的独创 卷I的主要内容是比较球面与平而这两种三角形的异同，力图平行于欧几里得几何原本，建立相应的球面三角形命题他尽量采用直接证法而避免用归谬法，有些命题的证明及讨论比原本更全面，因为原本中某些情形是有意留给读者自证的 他给出与平面三角形类似的若干命题之后，也指出两者的差异 如球面三角形三内角之和并不等于两直角而是大于两直角两平面三角形如各角对应相等只是相似而不一定全等，但
7、两个球面三角形若各角相等则必定全等(或对称)这是球面同平面明显的区别， 卷II没有多少新鲜的内容，只是建立一些对天文学有用的命题，一般不超出西奥多修斯(Theodosius of Bithynia，公元前2世纪下半叶)球面学(Sphaerica)的范围，有些是加以推广，证明通常是冗长的 卷I、卷II只牵涉到球面几何，卷III才正式开展球面三角学的论述第1个命题就是球面的“门纳劳斯定理”现今在平面几何及射影几何中有平面的“门纳劳斯定理”，一般表述为：设x，y，z分别是ABC三条边BC，CA，AB或其延长线上的点，则此三点共线的充要条件是 =1这命题不是门纳劳斯的发明，前人早巳知道，它也许裁在欧几
8、里得已失传的推论集(Porisms)中门纳劳斯在这里是作为已知来使用的他自己所证明的是这命题在球面上的推广：设X，Y，Z分别是球面三角形ABC三条边BC，CA，AB或其延长线上的点，则次三点共大圆的充要条件是：以上是用现代的术语和符号来表达的，当时还没有三角函数，只有希帕霍斯的弦表，就是不同圆心角所对弦长的表，相当于现在圆心角之半的正弦线的两倍门纳劳斯大概也造过这样的表他用弦长来表示前面的关系式，实质上和正弦一样 这定理称为“门纳劳斯定理”是名正言顺的，由于平面的情形不知出处，后人就一并称之为“门纳劳斯定理”它的另一种提法(平面情形)是：设一直线与三角形的三条边或其延长线相交，将三条边分(内分
9、或外分)为六条线段，则三条没有公共端点的线段之积，等于另外三条线段之积球面情形也有类似的说法，因为关系到六个量，在中世纪时常称为“六量律”(regula sex quantitatum)在托勒密天文集中，对平面及球面的情形部作了详细的证明(4，II，pp446463)门纳劳斯从这个定理导出很多有用的结果如命题2证明了两个球面三角形ABC与，若A，C (或C与互补)，则 =依习惯，A，B，C角所对的边分别记作a，b，c)特别是C与都是直角时，后来被称为“四量律”(regula quattuor quantitatum)，在阿拉伯三角学中占有重要的地位 命题5证明：若球面三角形ABC及的C，是直角
10、，B。又a，都小于，则 =， 可以由此导出(推导见6，I，p18) = 它等价于 这是解球面直角三角的基本公式之一。 在证明上述命题的过程中，门纳劳斯应用了非调和比(交比)的性质：通过O点有4条大圆弧，被任意两条大圆弧ABCD，所截，则= 在平面上，有这样的定理：过一点的4条直线与任一截线的4个交点的非调和比(即交比)与该截线的位置无关推广于球面就有上面的关系，只要将直线变成大圆弧，线段变成圆弧的正弦即可。 还有好几个可以和平面类比的命题如命题6：平分球面三角形ABC顶角A的大圆弧支BC于D，则 命题11以后，又转到和天文有关的问题上去以最后的命题15第一部分为例： 设BA，BC是大圆弧的一个象限，P是BA的极点。P，P是过P点的象限弧，交BC于，R是球半径，r，分别是过C，三点的小圆(平行于大圆BA)半径，则： 这公式自然可以用来解决天球上各种圈(如赤道、黄道、白道等)之间的关系可以肯定，门纳劳斯已经掌握了球面三角学的基本原理此外，他还研究过力学问题(据阿拉伯文献)，写过几何原理，发现一种“奇特曲线”(the paradoxical curve)，但都已失传
