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1、弯曲变形【例1】 试求图示简支梁1-1、2-2、3-3及4-4各截面上的内力分量：1-1、2-2是无极限接近于集中力P的截面，而3-3、4-4是无极限接近于集中力偶的截面。已知P=30kN，M=60kNm，分布荷载q=10kN/m，a=2m.。（a）解：1.首先求支座的约束反力YA及YDMD=0 YA=40kN MA=0 YD =50kN （b） （c）2.用1-1截面将梁截开，取左段为隔离体。由平衡条件可知，只须在1-1截面上加力Q1及力偶M1(图b) 。 Y = 0 Q1=YA-qa=20kN MB =0 YAa-a2 = 60kNm 3.对于2-2截面(图c) Y=0 Q2 = YAqa
2、P =10kN(负号表示与图设方向相反) MB=0 M2=YAa-a2=60kNm （d） （e）4.对于3-3截面(图d) Y=0 Q3=YA2qap =30kN MC=0 M3=2YAa2qa2pa=20kNm 5.对于4-4截面(图e) Y=0 Q4=YA2qap=30kN MC=0 M4=2YAa2qa2pa= 80 kNm【例2】 简支梁受力如图，试用简易法绘Q图和M图，并注明最大值。(a)解：1.利用整体的平衡条件，求得约束力为RA=qa，RD=qa。2.在B、C截面处载荷分布不连续，故分三段做图。利用外力简化法，求A、B、C和D四个截面上的内力值。A截面：QA=qa，MA=0；B
3、截面：=qa ，=qa，MB=qa2 ；C截面：=qa ，=qa2 ，=qa2； D截面：QD=qa，MD=0。将这些值分别标在剪力图和弯矩图中。3.判断曲线形状并绘Q图和M图(b) (c)AB段：无分布载荷作用（q=0），由微分关系可知，剪力图是水平线，弯矩图是斜直线。 BC段：有向下均布载荷q作用（q=常数），由微分关系可知，剪力图是斜直线，弯矩图是抛物线，向下凸。 CD段：情况同AB段。因各段剪力图都是直线，故直线连接上述截面上的剪力值即得剪力图，如图b所示。AB、CD两段的M图也是直线，所以弯矩图也可以通过直接连接上述截面上的弯矩值而得到。在BC段，因M图是抛物线，还要增加一点。通常计
4、算Q=0处的M 值（因该处M有极值）：x=a，M=qa2。连接三点即得抛物线。整个梁的弯矩图如图c所示。4.用微分关系校核AB段：由键力图上查得Q=qa 0，由知，M图斜率为负值。BC段：因q0，由知，Q图斜率为负值，在Q图上，随着x的增加，剪力由正值变为负值；因为，故M图的斜率由正值变为负值，当Q=0时，M取得最大值。CD段:情况同AB 段。【例3】 矩形截面松木梁两端搁在墙上，承受由梁板传来的荷载作用如图所示。已知梁的间距a=1.2m，两墙的间距为L=5m，楼板承受均布荷载，起面集度为P=3KN/，松木的弯曲许用应力=10MPa。试选择梁的截面尺寸。设。解：梁计算简图如图所示荷载的线集中度
5、为：q=最大弯矩在跨中截面，其值1 按正应力强度条件选择截面尺寸h=1.5b,W=b取b=150mm，h=1.5b=225mm。2 该梁为木梁，须校核剪应力强度。在邻近支座的截面上有Q矩形截面梁 剪切强度足够。故选定b=150mm，h=225mm。【例4】 简支梁在半个跨度上作用的均布载荷q，如图a所示，试求梁中点的挠度。(a)解：此题可以采用下面四种不同方法求解。解一：利用附录五上简支梁受集中载荷作用的解答。由查表可知，当简支梁上作用集中载荷P时，梁中点的挠度为 令梁在左半跨作用均布载荷,如图a所示,稍作变化即可得中点挠度 =-解二：利用对称性求解。原题半跨均布载荷可分解为正对称载荷和反对称
6、载荷两种情况的叠加(图b)。(b)由图b可见，简支梁在反对称载荷的作用下，梁中点挠度为零。所以原题就相当于求梁在对称载荷作用下所引起的中点挠度，即 解三：利用积分方法求解(见图c)。由于M（x）方程不连续，必须分两段列出弯矩方程式。(c)AC段(0x)：EI= EI EICB段(x)： EIEI EI 利用边界条件： x=0, ； x=, 再由连续条件： (转角连续) (挠度连续)即可求出四个积分常数为 具体运算过程,建议读者自行完成.最后,即可求出梁的挠曲线方程为 AC段(0x)： CD段(x)： 当用x=代入上述二式中的任一式时,皆可求得梁在中点的挠度为 【例5】 梁的材料为铸铁，已知截面
7、对中性轴的惯性矩。试校核其正应力强度。 （a）解：首先求支反力由 并绘出弯矩图（b）所示。 最大正弯矩在截面D上，。 （b）最大负弯矩在截面B上，。在截面D上：最大拉应力发生于截面下边缘各点处最大压应力发生于截面上边缘各点处在截面B上：最大拉应力发生于截面上边缘各点处最大压应力发生于截面下边缘各点处由以上分析知：此梁在B截面上，由于上边缘的最大拉应力，而引起强度不够。【例6】 桥式起重机大梁AB是36a工字钢，原设计的最大负荷（包括电葫芦重）P=40kN。今在工字钢梁中部的上下两面各加一块材料与工字钢相同的钢板，截面尺寸为10016mm2。载荷增大为62kN。试校核梁的正应力强度，并确定钢板的
8、最小长度c（不计梁自重，确定长度c时，应让载荷位于D或E处）。解：（1）计算大梁许用应力的大小载荷P位于梁中点时，弯矩最大，其值由型钢表查得36a工字钢的惯性矩和抗弯截面模量分别为 I=15760cm4，W=875cm3运用梁的正应力强度条件 故=120MPa（2）校核梁加固后的强度加固后：则 梁的强度足够。（3）确定钢板的最小长度c未加固部分的危险截面为D或E，当载荷P1位于D或E点时，其弯矩最大由弯曲正应力强度条件=120MPa解得 x8.28m或x2.123m显然x=8.28m不合理，应取x=2.123m所以钢板的最小长度为c=l2x=10.522.123=6.25m附：此题也可列方程，求解x。【例7】 丁字尺的截面为矩形。设。由经验可知，当垂直长边h加力（图a）时，丁字尺容易变形或折断，若沿长边加力（图b）时，则不然，为什么？ （a） （b）解：在其它情况相同的条件下，梁的强度与刚度分别取决于横截面对中性轴的抗弯截面模量W和惯性矩I。由于中性轴垂直于载荷作用面，因此图a情况，其W和I分别为，图b情况，其W和I分别为，因hb，故W1W1，I1I2，所以图a情况时，丁字尺容易变形或折断。第 7 页
