《2.1 直线段的扫描转换算法.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.1 直线段的扫描转换算法.doc（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.1 直线段的扫描转换算法 数值微分(DDA)法 设过端点P0(x0 ,y0)、P1(x1 ,y1)的直线段为L(P0 ,P1)，则直线段L的斜率 L的起点P0的横坐标x0向L的终点P1的横坐标x1步进，取步长=1(个象素)，用L的直线方程y=kx+b计算相应的y坐标，并取象素点(x,round(y)作为当前点的坐标。因为： yi+1 = kxi+1+b = k1xi+b+kDx = yi+kDx 所以，当Dx =1; yi+1 = yi+k。也就是说，当x每递增1，y递增k(即直线斜率)。根据这个原理，我们可以写出DDA画线算法程序。DDA画线算法程序void DDALine(int x0
2、,int y0,int x1,int y1,int color) int x； float dx, dy, y, k； dx = x1-x0； dy=y1-y0； k=dy/dx,；y=y0； for (x=x0；x 1时，必须把x，y地位互换，y每增加1，x相应增加1/k。在这个算法中，y与k必须用浮点数表示，而且每一步都要对y进行四舍五入后取整，这使得它不利于硬件实现。 中点画线法 假定直线斜率k在01之间，当前象素点为（xp,yp），则下一个象素点有两种可选择点P1（xp+1,yp）或P2（xp+1,yp+1）。若P1与P2的中点（xp+1,yp+0.5）称为M，Q为理想直线与x=xp+
3、1垂线的交点。当M在Q的下方时，则取P2应为下一个象素点；当M在Q的上方时，则取P1为下一个象素点。这就是中点画线法的基本原理。 图2.1.2 中点画线法每步迭代涉及的象素和中点示意图 下面讨论中点画线法的实现。过点(x0,y0)、(x1, y1)的直线段L的方程式为F(x, y)=ax+by+c=0，其中，a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0，欲判断中点M在Q点的上方还是下方，只要把M代入F（x，y），并判断它的符号即可。为此，我们构造判别式:d=F(M)=F(xp+1, yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c 当d0时，M在L(Q点)上方，取P1为下一
4、个象素； 当d=0时，选P1或P2均可，约定取P1为下一个象素；注意到d是xp, yp的线性函数，可采用增量计算，提高运算效率。 若当前象素处于d0情况，则取正右方象素P1(xp+1, yp),要判下一个象素位置，应计算 d1=F(xp+2, yp+0.5)=a(xp+2)+b(yp+0.5)=d+a，增量为a。 若d0时，则取右上方象素P2(xp+1, yp+1)。要判断再下一象素，则要计算d2= F(xp+2, yp+1.5)=a(xp+2)+b(yp+1.5)+c=d+a+b ，增量为ab。画线从(x0, y0)开始，d的初值 d0=F(x0+1, y0+0.5)=F(x0, y0)+a
5、+0.5b，因 F(x0, y0)=0，所以d0=a+0.5b。 由于我们使用的只是d的符号，而且d的增量都是整数，只是初始值包含小数。因此，我们可以用2d代替d来摆脱小数，写出仅包含整数运算的算法程序。中点画线算法程序：void Midpoint Line (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) int a, b, d1, d2, d, x, y； a=y0-y1； b=x1-x0；d=2*a+b； d1=2*a；d2=2* (a+b)； x=x0；y=y0； drawpixel(x, y, color); while (xx1) if (d0) x
6、+；y+； d+=d2; else x+； d+=d1; drawpixel (x, y, color); /* while */ /* mid PointLine */举例：用中点画线方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。a=y0-y1=-2; b=x1-x0=5; d0=2*a+b=1;d1=2*a=-4;d2=2*(a+b)=6 ,x y d 0 0 1 1 0 -32 1 3 3 1 -1 4 2 5 图2.1.3 中点画线法5 2 15问题1：若上述算法往下取二步(Di=2)，则算法和象素的取法将变成怎样？问题2：与DDA法相比，中点法的优点是什么？2.1 直线
7、段的扫描转换算法 Bresenham算法 Bresenham算法是计算机图形学领域使用最广泛的直线扫描转换算法。仍然假定直线斜率在01之间，该方法类似于中点法，由一个误差项符号决定下一个象素点。 算法原理如下：过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。按直线从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交点，然后确定该列象素中与此交点最近的象素。该算法的巧妙之处在于采用增量计算，使得对于每一列，只要检查一个误差项的符号，就可以确定该列的所求象素。 如图2.1.4所示，设直线方程为yi+1=yi+k(xi+1-xi)+k。假设列坐标象素已经确定为xi，其行坐标为yi。那么下一个象素的列坐标为xi1，而行
8、坐标要么为yi，要么递增1为yi1。是否增1取决于误差项d的值。误差项d的初值d00，x坐标每增加1，d的值相应递增直线的斜率值k，即ddk。一旦 d1，就把它减去1，这样保证d在0、1之间。当d0.5时，直线与垂线x=xi1交点最接近于当前象素(xi，yi)的右上方象素(xi1，yi1)；而当d0.5时，更接近于右方象素(xi1，yi)。为方便计算，令ed0.5，e的初值为0.5，增量为k。当e0时，取当前象素(xi，yi)的右上方象素(xi1，yi1)；而当e0时，取(xi，yi)右方象素(xi1，yi)。图2.1.4 Bresenham算法所用误差项的几何含义Bresenham画线算法程
9、序：void Bresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) int x, y, dx, dy； float k, e; dx = x1-x0；dy = y1- y0；k=dy/dx； e=-0.5； x=x0,；y=y0； for (i=0；idx；i+) drawpixel (x, y, color); x=x+1；e=e+k; if (e0) y+； e=e-1; 举例：用Bresenham方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2）的直线段。x y e0 0 -0.51 0 -0.12 1 -0.73 1 -0.34
10、2 -0.9 图2.1.5 Bresenham算法 5 2 -0.5 上述Bresenham算法在计算直线斜率与误差项时用到小数与除法。可以改用整数以避免除法。由于算法中只用到误差项的符号，因此可作如下替换：2*e*dx。 改进的Bresenham画线算法程序：void InterBresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) dx = x1-x0,；dy = y1- y0,；e=-dx; x=x0； y=y0; for (i=0; i0，对于圆内的点F(x,y)0 。与中点画线法一样，构造判别式：d=F(M)=F(xp+1,yp-
11、0.5)=(xp+1)2+(yp-0.5)2-R2若 d0，则应取P1为下一象素，而且再下一象素的判别式为：d=F(xp+2,yp-0.5)=(xp+2)2+(yp-0.5)2-R2=d+2xp+3若d0，则应取P2为下一象素，而且下一象素的判别式为d=F(xp+2,yp-1.5)=(xp+2)2+(yp-1.5)2-R2=d+2(xp-yp)+5我们这里讨论的第一个象素是（0,R），判别式d的初始值为：d0=F(1,R-0.5)=1.25-R图2.2.1 当前象素与下一象素的候选者中点画圆算法：MidPointCircle(int r int color) int x,y; float d; x=0; y=r; d=1.25-r; circlepoints (x,y,color); while(x=y) if(d0) d+=2*x+3; else d+=2*(x-y)+5; y-; x+; circlepoints (x,y,color); 为了进一步提高算法的效率，可以将上面的算法中的浮点数改写成整数，将乘法运算改成加法运算，即仅用整数实现中点
