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1、连续信号的采样与重建一、 设计目的和意义随着通信技术的迅速发展以及计算机的广泛应用，利用数字系统处理模拟信号的情况变得更加普遍。数字电子计算机所处理和传送的都是不连续的数字信号，而实际中遇到的大都是连续变化的模拟量，现代应用中经常要求对模拟信号采样，将其转换为数字信号，然后对其进行计算处理，最后再重建为模拟信号。 采样在连续时间信号与离散时间信号之间起着桥梁作用，是模拟信号数字化的第一个步骤，研究的重点是确定合适的采样频率，使得既要能够从采样信号(采样序列)中无失真地恢复原模拟信号，同时又尽量降低采样频率，减少编码数据速率，有利于数据的存储、处理和传输。在本次设计中，通过使用用MATLAB对信
2、号f(t)=A1sin(2pf t)+A2sin(4pf t)+A3sin(5pf t)在不同频率点的采样，并进行设计仿真，让我们进一步熟悉掌握连续时间信号的傅立叶变换、采样定理等。 二、 设计原理1 、时域抽样定理令连续信号xa(t)的傅里叶变换为Xa(j),抽样脉冲序列p(t)傅里叶变换为P(j),抽样后的信号x(t)的傅里叶变换为X(j)若采用均匀抽样,抽样周期Ts,抽样频率为s=2fs,由前面分析可知:抽样的过程可以通过抽样脉冲序列p(t)与连续信号xa(t)相乘来完成,即满足:x(t)=xa(t) p(t)，又周期信号f(t)傅里叶变换为： 故可以推得p(t)的傅里叶变换为:其中:根
3、据卷积定理可知:得到抽样信号x(t)的傅里叶变换为:其表明:信号在时域被抽样后,他的频谱X(j)是连续信号频谱X(j)的形状以抽样频率为间隔周期重复而得到,在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶级数Pn加权。因为Pn只是n的函数,所以X(j)在重复的过程中不会使其形状发生变化。假定信号x(t)的频谱限制在-m+m的范围内, 若以间隔Ts对xa(t)进行抽样,可知抽样信号X(t)的频谱X(j)是以s为周期重复。显然,若在抽样的过程中s=2m条件,X(j)才不会产生频谱的混叠,接收端完全可以由x(t)恢复原连续信号xa(t),这就是低通信号抽样定理的核心内容。2、信号的重建从频域看,设信号最高频率不超
4、过折叠频率: Xa(j)=Xa(j) |s/2则理想取样后的频谱就不会产生混叠,故有: 让取样信号x(t)通过一带宽等于折叠频率的理想低通滤波器:H(j)=T |s/2滤波器只允许通过基带频谱,即原信号频谱,故:Y(j)=X(j)H(j)=Xa(j)因此在滤波器的输出得到了恢复的原模拟信号:y(t)=xa(t)从时域上看,上述理想的低通滤波器的脉冲响应为:根据卷积公式可求得理想低通滤波器的输出为:由上式显然可得: 则:上式表明只要满足取样频率高于两倍信号最高频率,连续时间函数xa(t)就可用他的取样值xa(nT)来表达而不损失任何信息，这时只要把每一个取样瞬时值与内插函数式相乘求和即可得出xa
5、(t),在每一取样点上,由于只有该取样值所对应的内插函数式不为零,所以各个取样点上的信号值不变。三、 详细设计步骤1、分别用150HZ及300HZ对信号采样源信号为：fa=5*sin(2*pi*40*t1)+1.8*sin(4*pi*40*t1)+0.8*sin(5*pi*40*t1)，用150Hz的频率对f(t)进行采样，其采样图如图1所示；用300Hz的频率对f(t)进行采样，其采样图如图2所示。程序如下：fs1=150;t1=-0.1:1/fs1:0.1;fa=5*sin(2*pi*40*t1)+1.8*sin(4*pi*40*t1)+0.8*sin(5*pi*40*t1);figure
6、(1);plot(t1,fa),xlabel(fs1=150Hz时,fa采样时域图);hold off;fs2=300;t2=-0.1:1/fs2:0.1;fb=5*sin(2*pi*40*t2)+1.8*sin(4*pi*40*t2)+0.8*sin(5*pi*40*t2);figure(2);plot(t2,fb),xlabel(fs2=300Hz时,fb采样时域图); 图1 150HZ采样频率对信号采样图图2 300HZ采样频率对信号采样图2、对信号进行快速离散傅里叶变换将两个采样信号进行快速离散傅里叶变换(FFT),用150Hz的频率对f(t)进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图3
7、所示；用300Hz的频率对f(t)进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图4所示。程序如下：f=40;fs=150;N=300;k=0:N-1;t=-0.1:1/fs:0.1;w1=150*k/N;fa=5*sin(2*pi*f*t)+1.8*sin(4*pi*f*t)+0.8*sin(5*pi*f*t);xfa=fft(fa,N);xf1=abs(xfa);figure(1);plot(w1,xf1),xlabel(fs=150Hz时,fa经fft后频谱图.单位：Hz);f=40;fs=300;N=300;k=0:N-1;t=-0.1:1/fs:0.1;w2=300*k/Nfb=5*sin(
8、2*pi*f*t)+1.8*sin(4*pi*f*t)+0.8*sin(5*pi*f*t);xfb=fft(fb,N);xf2=abs(xfb);figure(2);plot(w2,xf2),xlabel(fs=300Hz时,fb经fft后频谱图.单位：Hz );图3 150HZ采样后经FFT后频谱图 图4 300HZ采样后经FFT后频谱图3、信号的重建 我们可以通过利用内插法把原信号从采样信号中恢复出来，观察信号在满足怎样的采样条件下能够恢复为原信号，图5和图6分别为恢复后的原信号。程序如下： Wm=180*pi;Wc=Wm;fs1=150;Ws=2*pi*fs1;n=-800:800;nT
9、s1=n/fs1;fa=5.1*sin(2*pi*40*nTs1)+1.8*sin(4*pi*40*nTs1)+0.8*sin(5*pi*40*nTs1);Dt=1/fs1;t1=-0.1:Dt:0.1;fa1=fa/fs1*Wc/pi*sinc(Wc/pi)*(ones(length(nTs1),1)*t1-nTs1*ones(1,length(t1); figure(1);plot(t1,fa1);axis(-0.1 0.1 -8 8);xlabel(fs=150Hz时,fa利用内插由样本重建原信号图.);Wm=180*pi;Wc=Wm;fs2=300;Ws=2*pi*fs2;n=-800
10、:800;nTs2=n/fs2;fb=5.1*sin(2*pi*40*nTs2)+1.8*sin(4*pi*40*nTs2)+0.8*sin(5*pi*40*nTs2);Dt=1/fs2;t1=-0.1:Dt:0.1;fb1=fb/fs2*Wc/pi*sinc(Wc/pi)*(ones(length(nTs2),1)*t1-nTs2*ones(1,length(t1); figure(2);plot(t1,fb1);axis(-0.1 0.1 -8 8);xlabel(fs=300Hz时,fb利用内插由样本重建原信号图.);grid;图5 150HZ采样后的信号的重建信号图6 300HZ采样后
11、的信号的重建信号4、信号的平移 f(t)用150Hz的频率采样进行快速傅立叶变换后向右平移200Hz如图7所示；将f(t)用300Hz的频率采样进行快速傅立叶变换后向右平移200Hz如图8所示。程序如下：f=40;fs1=150;t=0:1/fs1:0.1;n=500;k=0:n-1;fa=5*sin(2*pi*f*t)+1.8*sin(4*pi*f*t)+0.8*sin(5*pi*f*t);y1=exp(j*400*pi*t);y2=fa.*y1;y3=fft(y2,n);y3=abs(y3);y4=fft(fa,n);y4=abs(y4);w=300*k/n;figure(1);plot(
12、w,y4,-g,w,y3,-b),xlabel(fs=150Hz时,平移200Hz后频谱图);f=40;fs2=300;t=0:1/fs2:0.1;n=500;k=0:n-1;fb=5*sin(2*pi*f*t)+1.8*sin(4*pi*f*t)+0.8*sin(5*pi*f*t);y1=exp(j*400*pi*t);y2=fb.*y1;y3=fft(y2,n);y3=abs(y3);y4=fft(fb,n);y4=abs(y4);w=300*k/n;figure(2);plot(w,y4,-g,w,y3,-b),xlabel(fs=300Hz时,平移200Hz后频谱图); 图7 采样频率
13、为150HZ时，右移200HZ后频谱图图8 采样频率为300HZ时，右移200HZ后频谱图四、 设计结果及分析图1与图5分别是150HZ采样频率对信号采样图以及150HZ采样后对信号的重建图。比较两张图可以看出，由于当采样频率fs=150Hz时，fs2fm,原信号的频谱不再在抽样频谱中重复，单个项发生重叠，即混叠失真现象。而对比图2与图6，其分别为300HZ采样频率对信号采样图以及150HZ采样后对信号的重建图。比较两张图可以看出，当fs=300Hz时，满足采样定理要求，故没有混叠现象。我们可以很好的通过利用内插法把原信号从采样信号中恢复出来。为了实现信号右频移w，我们在时域中将信号乘以exp
14、(j*w*t)，则在频域上信号将右移w。观察图7、图8，可以看出这样的实现方法是可行的。五、 体会从信号处理的角度来看，采样定理描述了两个过程：其一是采样，这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一过程离散信号还原成连续信号。采样定理建立了模拟信号与数字信号之间的联系，是信号处理中非常重要的一个定理。如果已知信号的最高频率fH，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。相反，如果已知采样频率，采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。在本次设计中，非常直观的验证了采样定理的正确性，加深了对这一基本理论的掌握和理解。六、 参考文献1张威. MATLAB 基础与编程入门.西安电子科技大学出版社，2004.22张志涌、徐彦琴.MATLAB6.X教程.北京航空航天大学出版社，2005.8。 3刘树棠 译 奥本海姆.信号与系统（第二版）.西安交通大学出版社，2004.3。4梁虹、梁洁、陈跃斌.信号与系统分析及MATLAB实现.电子工业出版社，2002.1。5吕幼新，张明友.信号与系统分析.电子工业出版社，2003年免责声明：文档在线网中所有的文档资料均由文档在线网会员提供,该文档资料的版权属于提供者所有。文档在线网会对会员提供的文档资料进行筛选和编辑，但是并不声明或保证其内容的合法性和正确性。
