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1、1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性【学习要求】1结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系2能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式3会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)【学法指导】结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f(x)0单调递_增_f(x)0，y(x)是增函数；(2)在区间(，0)内，y2x0，y(x)是增函数；(3)在区间(，)内，y3x20，y(x)是增函数；(4)在区间(，0)，(0，)
2、内，y0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减问题2若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f(x)一定大于零吗？答：由问题1中(3)知f(x)0恒成立问题3(1)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间(2)函数的单调区间与其定义域满足什么关系？答：(1)不能用“”连接，只能用“，”或“和”字隔开问题1中(4)的单调递减区间为(，0)，(0，)(2)函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，故单调区间是定义域的子集例1已知导函数f(x)的下列信息：当1x0；当x4或
3、x1时，f(x)0；当x4或x1时，f(x)0.试画出函数f(x)图象的大致形状解：当1x0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x4或x1时，f(x)0，解此不等式，得x.因此，区间和为f(x)的单调增区间令3x28x10，解此不等式，得x0；当x(1,0)时，f(x)0.故f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在(1,0)上单调递减(3)函数的定义域为(0，)，f(x)6x2.令f(x)0，即20，解得x.又x0，x.令f(x)0，即20，解得x或0x0，0x0和f(x)0)；(4)用f(x)0的根将f(x)的定义域分成若干区间，列表考查这若干个区间内f(x)的符号，进而确定f(x)的单调
4、区间跟踪训练2求下列函数的单调区间：(1)f(x)x2ln x；(2)f(x)；(3)f(x)sin x(1cos x)(0x0，所以x10，由f(x)0得x，所以函数f(x)的单调递增区间为；由f(x)0得x0，(x2)20.由f(x)0得x3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，)；由f(x)0得x3，又定义域为(，2)(2，)，所以函数f(x)的单调递减区间为(，2)和(2,3)(3)f(x)cos x(1cos x)sin x(sin x)2cos2xcos x1(2cos x1)(cos x1)因为0x0得0x或x2；由f(x)0得x0， 函数在(0,6)上单调递增2. f(x)是函数yf(x)的导函数，若yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是() 解析由导函数的图象可知，当x0，即函数f(x)为增函数；当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即函数f(x)为增函数观察选项易知D正确(2)函数yx3x的增区间为_，减区间为_(2)y3x21，令y0，得x或x； 令y0，得x0和f(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间. 2 / 4
