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1、专题五 直线、平面、简单几何体高三数学备课组2011.11.16高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内.计算型问题, 解答题要以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展.从历年的考题变化看,以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题，以“方便建系”，“常规不难”为原则一、知识整合1有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题， 2三种空间角，即异面直线所成角、直线与平面所成角。平面与平面所成二面角。它们的求法一般化归为求两条相交直线
2、的夹角，通常“线线角抓平移，线面角找射影，面面角作平面角”而达到化归目的，尤其用空间直角坐标系。3了解七种距离，即点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求。教学目标：1、使学生掌握空间几何的线面关系； 2、使学生掌握用用向量判断位置关系与求角的方法。教学重点：掌握判断位置关系与求角的方法。教学难点：判断位置关系与求角的方法。 二、例题分析例1、已知水平平面内的两条相交直线a, b所成的角为，如果将角的平分线绕着其顶
3、点，在竖直平面内作上下转动， 转动到离开水平位值的处，且与两条直线a,b都成角，则与的大小关系是 （ C ） A. 或 B. 或 D. 已知异面直线a,b所成的角为70,则过空间一定点O,与两条异面直线a,b都成60角的直线有 ( D )条.A. 1 B. 2 C. 3 D. 4异面直线a,b所成的角为,空间中有一定点O,过点O有3条直线与a,b所成角都是60,则的取值可能是 ( C ).A. 30 B. 50 C. 60 D. 90例2、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，ACB=900，AC=1，C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.（1）求证：AB1平面
4、CED；（2）求异面直线AB1与CD之间的距离；（3）求二面角B1ACB的平面角.解:（1）D是AB中点，ABC为等腰直角三角形，ABC=900，CDAB又AA1平面ABC，CDAA1.CD平面A1B1BA CDAB1，又CEAB1， AB1平面CDE；（2）由CD平面A1B1BA CDDEAB1平面CDE DEAB1,DE是异面直线AB1与CD的公垂线段CE=，AC=1 , CD=；（3）连结B1C，易证B1CAC，又BCAC , B1CB是二面角B1ACB的平面角.在RtCEA中，CE=，BC=AC=1,B1AC=600， , , .说明：作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当
5、然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.例3如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD交于点E，CB与CB1交于点F.（I）求证：A1C平BDC1；（II）求二面角BEFC的平面角的余弦值大小解法一：解法二：（）以点C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0).D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1),C1(0,0,1),D1(1,0,1)（）同（I）可证，BD1平面AB1C.4（天津卷理科第19题） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F. （1）证明P
6、A/平面EDB；（2）证明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小.方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设。（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG。依题意得。底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点G的坐标为且。，这表明PA/EG。而平面EDB且平面EDB，PA/平面EDB。（2）证明；依题意得，。又，故。由已知，且，所以平面EFD。（3）解：设点F的坐标为，则。从而。所以。由条件知，即，解得点F的坐标为，且，即，故是二面角CPBD的平面角。，且，。所以，二面角CPBD的大小为。5. （福建卷理科第19题）在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面S
7、AC平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.（）证明：ACSB；（）求二面角N-CM-B的大小；（）求点B到平面CMN的距离.解法二：（）取AC中点O，连结OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO且ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABC=ACSO面ABC，SOBO.如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，0)，N(0，).=（-4，0，0），=（0，2，2），=（-4，0，0）（0，2，2）=0，ACSB.（）由（）得=（3，0)，=（-1，0，）.设n=（x，y，z）为平面C
8、MN的一个法向量， n=3x+y=0，则 取z=1，则x=，y=-，n=-x+z=0，n=(，-，1)，又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， cos(n，)=.二面角N-CM-B的大小为arccos.（）由（）（）得=（-1，0），n=（，-，1）为平面CMN的一个法向量，点B到平面CMN的距离d=.6.（浙江卷理科第19题）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点.（）求证AM平面BDE；（）求二面角ADFB的大小；（）试在线段AC上确定一点P，使得PF与所成角是.方法二 （）建立如图所示的空间直角坐标系。 设，连接NE， 则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）, NE=(, 又点A、M的坐标分别是 （）、（ AM=（NE=AM且NE与AM不共线，NEAM。又平面BDE， 平面BDE，AM平面BDF。（）AFAB，ABAD，AFAB平面ADF。为平面DAF的法向量。NEDB=（=0，NENF=（=0得NEDB，NENF，NE为平面BDF的法向量。cos=AB与NE的夹角是60。即所求二面角ADFB的大小是60。（）设P(t,t,0)(0t)得CD=（，0，0）又PF和CD所成的角是60。解得或（舍去），即点P是AC的中点。1
