小学思维数学讲义：计数之对应法-带答案解析

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1、计数之对应法教学目标前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树 形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳 法、整体法、对应法、递推法对这些计数方法与技巧要做到灵活运用例题精讲将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量 上是相同的事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式模块一、图形中的对应关系【例 1】 在 88 的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L ”形（如图），一共有多少种不同的方法？ 【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3 星

2、 【题型】解答【解析】 注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法第 1 步：找对应图形 每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A点，它是棋盘上横线与竖线的 交点，且不在棋盘边上第 2 步：明确对应关系 从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着 4 个不同的取法（“L”形的“角” 在 22 正方形的不同“角”上）第 3 步：计算对应图形个数 由于在 88 的棋盘上，内部有 77=49（个）交叉点，第 4 步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有 494=196（种）评注 :通过上面两个范例我们知道 ,当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候 , 可考虑采用相等 的原则,把问题转化成求

3、另一个集合的元素个数【答案】196【例 2】 在 88 的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色 小方格的长方形共有多少个？【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 首先可以知道题中所讲的 13 长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不 能在中间显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中下面分两种情况来分 析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的1 3 长方形(一横一竖)；第二种情 况，位于边上的黑色方格只能对应一个1 3 长方形由于在棋盘上的 32 个黑色方格中，位于棋盘内1

4、3部的 18 个，位于边上的有 12 个，位于角上的有 2 个，所以共有18 2 +12 =48 个这样的长方形本 题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有 6 个 1 3 长方形，所以棋盘上横、竖共有 1 3 长方形 6 8 2 =96 个由于棋盘上的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方 形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半， 因此所求的长方形个数为 96 2 =48 个【答案】 48【巩固】 用一张如图所示的纸片盖住 6 6 方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3 星

5、 【题型】解答【解析】如图，将纸片中的一个特殊方格染为黑色，下面考虑此格在 6 6 方格表中的位置易见它不能位于 四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的 4 4 正方形内的某格时，纸片有 4 种不同的 放法，共计4 4 4 =64 种；若黑格位于方格表边上如图深色阴影所示的方格中时，纸片的位置随之 确定，即只有 1 种放法，此类放法有 4 4 =16 种所以，纸片共有 64 +16 =80 种不同的放置方法【答案】 80 种【例 3】 图中可数出的三角形的个数为 【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】4 星 【题型】填空【解析】 这个图不像我们以前数三角形那样规则，粗看似乎看不出其

6、中的规律，不妨我们取出其中的一个三 角形，发现它的三条边必然落在这个图形中的三条大线段上，而每三条大线段也正好能构成一个三 角形，因此三角形的个数和三条大线段的取法是一一对应的关系，图中一共有 8 条大线段，因此有 C =56 个三角形8【答案】 56 个三角形【例 4】 如图所示，在直线 AB 上有 7 个点，直线CD 上有 9 个点以 AB 上的点为一个端点、 CD 上的点为 另一个端点的所有线段中，任意 3 条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在 AB 与 CD 之间 的交点数【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】4 星 【题型】解答ABC D【解析】 常规的思路是这样的：直线 A

7、B 上的 7 个点，每个点可以与直线CD 上的 9 个点连 9 根线段，然后再 分析这些线段相交的情况如右图所示，如果注意到下面这个事实：对于直线 AB 上的任意两点 M 、 N 与直线 CD 上的任意两点 P 、Q 都可以构成一个四边形 MNQP ，而这个四边形的两条对角线 MQ 、 NP 的交点恰好是我们要计数的点，同时，对于任意四点 ( AB 与 CD 上任意两点 )都可以产生一个这22 241998样的交点，所以图中两条线段的交点与四边形有一一对应的关系这说明，为了计数出有多少个交 点，我们只需要求出在直线 AB 与 CD 中有多少个满足条件的四边形 MNQP 就可以了！从而把问题转

8、化为：在直线 AB 上有 7 个点，直线 CD 上有 9 个点四边形 MNQP 有多少个？其中点 M 、 N 位于 直线 AB 上，点 P 、 Q 位于直线 CD 上这是一个常规的组合计数问题，可以用乘法原理进行计算： 由于线段 MN 有 C =21 种选择方式，线段 PQ 有 C =36 种选择方式，根据乘法原理，共可产生7 921 36 =756 个四边形因此在直线 AB 与 CD 之间共有 756 个交点【答案】 756 个交点模块二、数字问题中的对应关系【例 5】 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系

9、 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从 09 中任意选取的 4 个数字，它 们的大小关系也是明确的，那么由这 4 个数字只能组成 1 个符合条件的四位数(题目中要求千位比百 位大，所以千位不能为 0，本身已符合四位数的首位不能为 0 的要求，所以进行选择时可以把 0 包 含在内)，也就是说满足条件的四位数的个数与从 09 中选取 4 个数字的选法是一一对应的关系，那么满足条件的四位数有 C =1010 9 8 7 4 3 2 1=210 个【答案】 210 个【巩固】 三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？【考点】

10、计数之数字问题中的对应关系 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 相当于在 10 个数字中选出 3 个数字，然后按从大到小排列.共有 1098（321）=120 种实际上， 前铺中每一种划法都对应着一个数【答案】120 种【例 6】 数 3 可以用 4 种方法表示为一个或几个正整数的和，如 3，1 +2 ， 2 +1， 1 +1+1 问：1999 表示 为一个或几个正整数的和的方法有多少种？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4 星 【题型】解答【解析】 我们将 1999 个 1 写成一行，它们之间留有 1998 个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“”号例如对于数 3，上述

11、 4 种和的表达方法对应：1 1 1，1 +1 1，1 1 +1，1 +1 +1可见，将 1999 表示成和的形式与填写 1998 个空隙处的方式之间是一一对应的关系，而每一个空隙 处都有填 “ ” 号和不填 “ ” 号 2 种可能，因此 1999 可以表示为正整数之和的不同方法有 2 2 2 =2 种1998个 2相乘【答案】 21998种【例 7】 请问至少出现一个数码 3，并且是 3 的倍数的五位数共有多少个？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4 星 【题型】解答【关键词】小学数学竞赛【解析】 五位数共有 90000 个，其中 3 的倍数有 30000 个可以采用排除法，首先考

12、虑有多少个五位数是 3 的倍数但不含有数码 3.首位数码有 8 种选择，第二、三、四位数码都有 9 种选择当前四位的数码 确定后，如果它们的和除以余数为 0，则第五位数码可以为 0、6、9；如果余数为 1，则第五位数码 可以为 2、5、8；如果余数为 2，则第五位数码可以为 1、4、7.可见只要前四位数码确定了，第五位 数码都有 3 种选择，所以五位数中是 3 的倍数但不含有数码 3 的数共有 8 9 9 9 3 =17496 个 所以满足条件的五位数共有 30000 -17496 =12504 个【答案】12504 个模块三、对应与阶梯型标数法【例 8】 游乐园的门票 1 元 1 张，每人限

13、购 1 张现在有 10 个小朋友排队购票，其中 5 个小朋友只有 1 元 的钞票，另外 5 个小朋友只有 2 元的钞票，售票员没有准备零钱问有多少种排队方法，使售票 员总能找得开零钱？3【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5 星 【题型】解答【解析】 与类似题目找对应关系要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿 2 元钱的小朋友前面的 若干小朋友中，拿 1 元的要比拿 2 元的人数多，先将拿 1 元钱的小朋友看成是相同的，将拿 2 元钱 的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型在下图中，每条小横线段代表1 元钱的小朋友， 每条小竖线段代表 2 元钱的小朋友，因为从 A 点沿格线走

14、到 B 点，每次只能向右或向上走，无论到 途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求下图中 从 A 到 B 有多少种不同走法使用标数法，可求出从 A 到 B 有 42 种走法B4214542214 28159 14234 5A1 1 1 1 1 1但是由于 10 个小朋友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿 2 元的小朋友，5 个 人共有 5！=120 种排法；第二步排拿到 1 元的小朋友，也有 120 种排法，所以共有 5！5！=14400 种排 队方法这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有 42 14400 =604800 (种)【答案

15、】 604800 种【例 9】 学学和思思一起洗 5 个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上 面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有 种不同的摞法【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5 星 【题型】解答【关键词】学而思杯，5 年级，第 7 题【解析】 方法一：如下所示，共有 42 种不同的摞法：5 -4 -3 -2 -1 ，4 -5 -3 -2 -1 ，3 -5 -4 -2 -1 ，5 -3 -4 -2 -1 ，3 -4 -5 -2 -1 ，5 -4 -2 -3 -1 ， 4 -5 -2 -3 -1 ，2 -5 -4 -3 -1 ，5 -2 -4 -3 -1 ，2 -4 -5 -3 -1 ，5 -2 -3 -4 -1 ，2 -5 -3 -4 -1 ， 2 -3 -5 -4 -1 ，2 -3 -4 -5