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1、星原教师网：http:/高中数学考试大纲第一部分 学科专业基础一、数学分析(一)实数集与函数1. 实数:实数的概念,实数的性质,绝对值与不等式。2. 数集、确界原理:区间与邻域,有界集与无界集,上确界与下确界,确界原理。3. 函数概念:函数的定义,函数的表示法(解析法、列表法、和图像法),分段函数。4. 具有某些特征的函数:有界函数,单调函数,奇函数与偶函数,周期函数。要求:理解实数的概念,了解绝对值不等式的性质,会解绝对值不等式;掌握区间和邻域的概念,理解确界概念和确界原理,会利用定义证明一些简单数集的确界;掌握函数的定义及函数的表示法,了解函数的运算;了解一些特殊类型的函数。(二)数列极限
2、1. 极限概念。2. 收敛数列的性质:唯一性,有界性,保号性,保不等式性,迫敛性。3. 数列极限存在的条件:单调有界定理,柯西收敛准则。要求:理解和掌握数列极限的概念;能运用语言处理极限问题;掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件(单调有界定理和迫敛性定理),能熟练运用收敛数列的性质求极限;理解数列极限的柯西收4 8敛准则;了解子列的概念及其与数列极限的关系;了解无穷小数列的概念及其与数列极限的关系。(三)函数极限1. 函数极限的概念,单侧极限的概念。2. 函数极限的性质:唯一性,局部有界性,局部保号性,保不等式性,迫敛性。3. 函数极限存在的条件:归结原则(Heine 定理),柯西准则。
3、4. 两个重要极限。5. 无穷小量与无穷大量,阶的比较。要求:理解和掌握函数极限的概念;掌握并能应用 着-啄 语言处理极限问题;了解函数的单侧极限;理解函数极限的柯西准则;了解函数极限的性质和归结原则;熟练掌握用两个重要极限处理极限问题。(四)函数连续1. 函数连续的概念:一点连续的定义,区间连续的定义,单侧连续的定义,间断点及其分类。2. 连续函数的性质:局部性质(局部有界性、局部保号性)及四则运算;闭区间上连续函数的性质(最大、最小值定理、介值性定理、一致连续性定理);复合函数的连续性,反函数的连续性。3. 初等函数的连续性。要求:理解一元函数连续性概念及其证明;了解一致连续性的定义;理解
4、并掌握函数间断点及其分类;理解连续函数的局部性质;了解单侧连续的概念;能正确叙述和简单应用闭区间上连续函数的性质;了解反函数的连续性,理解复合函数的连续性、初等函数的连续性。(五)导数与微分1. 导数概念:导数的定义,导函数、导数的几何意义。2. 求导法则:导数公式,导数的运算(四则运算),求导法则(反函数的求导法则、复合函数的求导法则、隐函数的求导法则、参数方程的求导法则)。3. 微分:微分的定义,微分的运算法则,微分的应用。5 84. 高阶导数与高阶微分。要求:理解并掌握导数与微分概念,了解它们的几何意义;能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数;理解可导性与连续性的关系;掌握高阶
5、导数的求法;了解导数的几何应用;了解微分在近似计算中的应用。(六)微分学基本定理1. 中值定理:罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理。2. 几种特殊类型的不定式极限与洛必达法则。3. 泰勒公式。要求:理解并掌握中值定理的内容、证明及其应用;了解泰勒公式及其在近似计算中的应用,能够把初等函数按泰勒公式展开;能熟练地运用洛必达法则求不定式的极限。(七)导数的应用1. 函数的单调性与极值。2. 函数凹凸性与拐点。要求:理解函数的某些特性(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点)及其判断方法,能利用函数的特性解决相关的实际问题。(八)实数完备性定理及应用1. 实数完备性六个等价定理:确界原理,单调有
6、界定理,区间套定理,柯西收敛准则,聚点定理,有限覆盖定理。2. 闭区间上连续函数整体性质的证明:有界性定理的证明,最大小值性定理的证明,介值性定理的证明,一致连续性定理的证明。3. 上、下极限。要求:了解实数完备性的几个定理和闭区间上连续函数的性质的证明;了解聚点的概念,上、下极限的概念。(九)不定积分1. 不定积分概念。2. 换元积分法与分部积分法。3. 几类可化为有理函数的积分。6 8要求:理解原函数和不定积分概念;掌握换元积分法、分部积分法;了解有理式积分法、简单无理式和三角有理式积分法。(十)定积分1. 定积分的概念:概念的引入、黎曼积分定义,函数可积的必要条件。2. 可积性条件:可积
7、的必要条件和充要条件,达布上和与达布下和,可积函数类(连续函数、只有有限个间断点的有界函数、单调函数)。3. 微积分学基本定理:可变上限积分,牛顿-莱布尼茨公式。4. 非正常积分:无穷积分收敛与发散的概念,审敛法(柯西准则、比较法、狄利克雷与阿贝尔判别法);瑕积分的收敛与发散的概念,收敛判别法。要求:理解定积分概念及函数可积的条件;熟悉一些可积分函数类,会一些较简单的可积性证明;了解定积分与可变上限积分的性质;能较好地运用牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法计算一些定积分;理解广义积分的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念;能用收敛性判别法判断某些广义积分的收敛性。(十一)定积分的应用1
8、. 定积分的几何应用:平面图形的面积,微元法,已知截面面积函数的立体体积,旋转体的体积平面曲线的弧长与微分,曲率。2. 定积分在物理上的应用:功,液体压力,引力。要求:了解定积分的几何应用;了解定积分在物理上的应用;了解“微元法冶。(十二)数项级数1. 级数的敛散性:无穷级数收敛、发散的概念,柯西准则,收敛级数的基本性质。2. 正项级数:比较原理,达朗贝尔判别法,柯西判别法,积分判别法。3. 一般项级数:交错级数与莱布尼茨判别法,绝对收敛级数与条件7 8收敛级数及其性质,阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。要求:理解无穷级数的收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念;了解收敛级数的性质;能够应用正项级数
9、与任意项级数的敛散性判别法判断级数的敛散性;熟悉几何级数、调和级数与级数。(十三)函数项级数1. 一致收敛性及一致收敛判别法(柯西准则、优级数判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法)。2. 一致收敛的函数列与函数项级数的性质(连续性、可积性、可微性)。要求:理解函数列的收敛域、极限函数的概念;理解函数列一致收敛的概念;掌握极限函数与和函数的分析性质(会证明);能够比较熟练地判断一些函数项级数与函数列的一致收敛。(十四)幂级数1. 幂级数:阿贝尔定理,收敛半径与收敛区间,幂级数的一致收敛性,幂级数和函数的分析性质。2. 几种常见初等函数的幂级数展开与泰勒定理。要求:理解幂级数、函数的幂级数展开的概
10、念;掌握幂级数的性质;会求幂级数的收敛半径与一些幂级数的收敛域;会把常见初等函数展开成幂级数;了解用间接展开法求函数的泰勒展开式。(十五)傅里叶级数1. 傅里叶级数:三角函数与正交函数系,傅里叶级数与傅里叶系数,以2仔 为周期的函数的傅里叶级数,收敛定理。2. 以2l 为周期的函数的傅里叶级数。3. 收敛定理的证明。要求:理解三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念;了解傅里叶级数收敛性判别法;能将一些函数展开成傅里叶级数;了解收敛定理的证明。(十六)多元函数极限与连续1. 平面点集与多元函数的概念。8 82. 二元函数的极限,累次极限。3. 二元函数的连续性:二元函数的连续性概念,连续函数
11、的局部性质及初等函数连续性。要求:理解平面点集、多元函数的基本概念;理解二元函数的极限、累次极限、连续性概念,会计算一些简单的二元函数极限;了解闭矩形套定理、有限覆盖定理、多元连续函数的性质。(十七)多元函数的微分学1. 可微性:偏导数的概念,偏导数的几何意义,偏导数与连续性,全微分概念,连续性与可微性,偏导数与可微性。2. 多元复合函数微分法及求导公式。3. 方向导数与梯度。4. 泰勒定理与极值。要求:理解偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数及极值等概念,会求简单的偏导数、全微分、高阶偏导数;了解全微分、偏导数、连续之间的关系;了解泰勒公式;会求多元函数的极值、最值。(十八)隐函数定理及其应
12、用1. 隐函数:隐函数的概念,隐函数存在唯一性定理,隐函数求导举例。2. 隐函数组:隐函数组存在定理,反函数组与坐标变换,雅可比行列式。3. 几何应用:平面曲线的切线与法线,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面和法线。4. 条件极值:条件极值的概念,条件极值的必要条件。要求:理解隐函数的概念及隐函数存在唯一性定理,会求隐函数的导数;了解隐函数组的概念及隐函数组定理;会求曲线的切线方程、法平面方程、曲面的切平面方程和法线方程;理解条件极值概念及求法。(十九)重积分1. 二重积分概念:二重积分的概念,可积条件,可积函数,二重积分的性质。9 82. 二重积分的计算:化二重积分为累次积分,换元法(极坐
13、标变换、一般变换)。3. 含参变量的积分。4. 三重积分计算:化三重积分为累次积分,换元法(一般变换、柱面坐标变换、球坐标变换)。5. 重积分应用:立体体积,曲面的面积,物体的重心,转动惯量。6. 含参量非正常积分概念及其一致收敛性:含参变量非正常积分及其一致收敛性概念,一致收敛的判别法(柯西准则、与函数项级数一致收敛性的关系、一致收敛的 M 判别法),含参变量非正常积分的分析性质。7. 欧拉积分:格马函数及其性质,贝塔函数及其性质。要求:理解含参变量定积分的概念与性质;掌握二重、三重积分的概念、性质、计算及基本应用;了解含参变量非正常积分的收敛与一致收敛的概念;了解含参变量非正常积分一致收敛
14、的判别定理及其应用;了解欧拉积分。(二十)曲线积分与曲面积分1. 第一型曲线积分的概念、性质与计算,第一型曲面积分的概念、性质与计算。2. 第二型曲线积分的概念、性质与计算,变力做功,两类曲线积分的联系。3. 格林公式,曲线积分与路线的无关性,全函数。4. 曲面的侧,第二型曲面积分概念及性质与计算,两类曲面积分的关系。5. 高斯公式,斯托克斯公式,空间曲线积分与路径无关性。6. 场论初步:场的概念,梯度,散度和旋度。要求:掌握两类曲线积分与曲面积分的概念、性质及计算;了解两类曲线积分的关系和两类曲面积分的关系;熟练掌握格林公式的证明及其应用,会利用高斯公式、斯托克斯公式计算一些曲面积分与曲线积
15、分;了解场论的初步知识。0 9二、高等代数(一)多项式1. 一元多项式、多项式整除的概念。2. 不可约因式与重因式的性质与判定。3. 最大公因式、互素的概念和性质。4. 整系数多项式有理根的判别,Eisenstein 判别法。5. 复系数与实系数多项式的因式分解。要求:掌握多项式的整除、因式分解、可约性的概念;掌握代数基本定理、实系数多项式根的性质和有理系数多项式的不可约判别法;掌握整系数多项式有理根的判别;正确理解多项式与多项式函数的关系。(二)行列式1. 排列,排列的奇偶性。2. 行列式的定义及其基本性质和计算。3. 行列式依行(列)展开定理。4. 拉普拉斯(Laplace)定理。5. 克莱姆(Cramer)法则。要求:掌握行列式的概念和性质,熟练应用行列式的性质计算行列式;了解克莱姆法则及其应用。(三
