《北师大版高数选修2-2第8讲：数学归纳法(学生版).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版高数选修2-2第8讲：数学归纳法(学生版).doc（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学归纳法_1、数学归纳法的原理及应用.2、数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系.一、 数学归纳法： 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察归纳猜想证明”的思维模式，就显得特别重要。 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n 0时命题成立； （2）（归纳递推）假设n=k（）时命题成立，证明当时
2、命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。题型一、用数学归纳法证明恒等式例1、例1数学归纳法证明132333n3=
3、n2（n1）2题型二、用数学归纳法证明不等式例2、归纳法证明（n1，且）题型三、用数学归纳法证明几何问题例4平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成个部分.题型四、用数学归纳法证明整除问题例4、 用数学归纳法证明32n28 n9能被64整除题型五 归纳、猜想、证明例8：是否存在常数a，b，c使等式对一切自然数n都成立，并证明你的结论。一、选择题1用数学归纳法证明11)时，第一步应验证不等式()A1n22”这一命题，证明过程中应验证()An1时命题成立Bn1，n2时命题成立Cn3时命题成立Dn1，n2，n3时命题成立8已知f(n)(2n7)3
4、n9，存在自然数m，使得对任意nN*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为()A30B26C36D69已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2、a3、a4，猜想an()A.B.C.D.10对于不等式n1(nN)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设nk(kN)时，不等式成立，即k1，则nk1时，(n2)17在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域18(2010衡水高二检测)试比较2n2与n2的大小(nN*)，并用数学归纳法证明你的结论分析由题目可获取以下主要信息
5、：此题选用特殊值来找到2n2与n2的大小关系；利用数学归纳法证明猜想的结论解答本题的关键是先利用特殊值猜想_基础巩固一、选择题1用数学归纳法证明11)时，第一步应验证不等式()A12B12C13 D132(2014秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1aa2an1(nN*，a1)，在验证n1时，左边所得的项为()A1 B1aa2C1a D1aa2a33设f(n)(nN*)，那么f(n1)f(n)等于()A BC D4某个命题与自然数n有关，若nk(kN*)时，该命题成立，那么可推得nk1时该命题也成立现在已知当n5时，该命题不成立，那么可推得()A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C
6、当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立5用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A假设nk(kN*)时命题成立，证明nk1时命题也成立B假设nk(k是正奇数)时命题成立，证明nk1时命题也成立C假设nk(k是正奇数)时命题成立，证明nk2时命题也成立D假设n2k1(kN)时命题成立，证明nk1时命题也成立6凸n边形有f(n)条对角线，则凸n1边形对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2二、填空题7(2014湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(
7、nN*)时，从“nk到nk1”左边需增乘的代数式为()A2k1 B2(2k1)C D8已知数列，通过计算得S1，S2，S3，由此可猜测Sn_.9用数学归纳法证明：1，第一步应验证的等式是_三、解答题10(2013大庆实验中学高二期中)数列an满足Sn2nan(nN*)(1)计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想能力提升一、选择题11用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2CD(k21)(k22)(k23)(k1)212设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k1边形的内角和f(k1)f(k)_.()A2 BC
8、D13(2014揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，要利用归纳假设证nk1时的情况，只需展开()A(k3)3 B(k2)3C(k1)3 D(k1)3(k2)314(2014合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则归纳猜测a7b7()A26 B27C28 D29二、填空题15用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN*)”时，第一步的验证为_16对任意nN*,34n2a2n1都能被14整除，则最小的自然数a_.三、解答题17在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域18试比较2n2与n2的大小(nN*)，并用数学归纳法证明你的结论
