高等代数习题

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1、高等代数习题 高等代数习题 第一章 根本概念 1.1 集合 1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合Z是不是X的子集？ 2、设a是集A的一个元素。记号a表示什么？ a A是否正确？ 3、设 写出 和 . 4、写出含有四个元素的集合 的一切子集 5、设A是含有n个元素的集合A中含有k个元素的子集共有多少个？ 6、以下论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进展改正 (i)(ii)(iii)(iv)7证明以下等式： (i)1 (ii) (iii) 1.2 映射 1、设A是前100个正整数所成的集合找一个A到自身的映射，但不是满射 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射 3、

2、是不是全体实数集到自身的映射？ 4设f定义如下： f是不是R到R的映射？是不是单射？是不是满射？ 5、令A=1,2,3.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？ 6、设a ,b是任意两个实数且ab.试找出一个0,1到a ,b的双射. 7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，fg与gf一般不相等。 8、设A是全体正实数所成的集合。令 (i)g是不是A到A的双射？ (ii)g是不是f的逆映射？ (iii)假设g有逆映射，g的逆映射是什么？ 2 9、设 是映射，又令 ，证明 (i)假设 是单射，那么 也是单射； (ii)假设 是满射，那么 也是满射； (iii)假设 都是双射

3、，那么 也是双射，并且 10判断以下规那么是不是所给的集合A的代数运算: 1 2 3 4 集 合 A 全体整数 全体整数 全体有理数 全体实数 规 那么 (a,b)|?a?b 1.3数学归纳法 1、证明: 2、设是一个正整数.证明 , 是任意自然数. 3、证明二项式定理: 这里 ， 是 个元素中取 个的组合数. 3 4、证明第二数学归纳法原理. 5、证明,含有 个元素的集合的一切子集的个数等于。 1.4 整数的一些整除性质 1、对于以下的整数 ,分别求出以 除 所得的商和余数: ; ; 2、设; . 是整数且不全为0,而. , , .证明, 的一个最大公因数必要且只要3、设数:是不等于零的整数

4、.满足以下两个条件的正整数;假设且,那么. 叫做与的最小公倍证明: 任意两个不等于零的整数 都有唯一的最小公倍数; 4、设 或令 是 与 的最小公倍数而 ,那么 . 是一个大于1的整数且具有以下性质:对于任意整数 .证明,是一个素数(定理1.4.5的逆命题). ,假设 ,那么5、设是两两不一样的素数,而 . 证明; 4 利用 证明,素数有无限多个 1.5数环和数域 1证明,假设一个数环 那么 含有无限多个数 2证明, 是数域 3证明, 是一个数环, 是不是数域? 4证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数环的并是不是数环? 5设是一整数,令 由例1,是一个数环.设,记 证明: 是一个数环 ,这里 是 与 的最大公因数 第二章 多项式 2.1一元多项式的定义和运算 5 第 页 共 页