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1、第十届东南数学奥林匹克解答第一天(7月27日 上午8：0012：00) 江西 鹰潭1. 实数使得方程有三个正实根求的最小值（杨晓鸣提供）解 设方程的三个正实根分别为，则由根与系数的关系可得，故由知：又由知：因此，当，即方程三个根均为时等号成立综上所述，所求的最小值为2. 如图，在中，内切圆与边切于点，交内切圆于另一点，圆的切线交的延长线于点，平行交于点，直线交圆于点，点在线段上，线段与圆交于另一点证明：（张鹏程提供）证法1 设圆与分别切于点联结，设ST与AI交于点G，则，从而有，因此四点共圆又，因此四点共圆，从而五点共圆因此，即，从而三点共线直线截，由梅涅劳斯定理知，又，因此有 设的延长线交
2、于点，直线截，由梅涅劳斯定理知，由于平行于，因此，从而有 由、知，故，因此，又，因此证法2 设圆与分别切于点，则由知，因此，从而又，因此三点共线如下同证法13. 数列满足：证明：该数列任意两个相邻项的平方和仍是该数列中的一种项（陶平生提供）证 由得，于是，故从而，可见，故猜想令，于是， 其中进一步有 由、知，即由于，根据递推式可知，即证毕4. 十二个杂技演员编号分别为，将她们按合适方式分别围成两个圈，每圈6人，其中圈的每个演员分别站在圈相邻两个演员的肩膀上如果圈中每个演员的编号分别等于她脚下两个演员的编号之和，就称这样搭配成的构造为一种“塔”，问总共能搭配成多少个构造不相似的“塔”？（注：旋转
3、或对称后的塔属于同一种构造以8个人的状况为例，画一种圆，将底层演员编号填在圈内，上层演员编号填在圈外，那么如下三个图均是“塔”，但后两个图分别可由第一种图经旋转或对称而得，故它们属于同一种构造） （陶平生提供） 解 将组中的元素和分别记为，则有，因此，显然有，设，其中，则，且（若，则，矛盾）(1) 如果，则，于是或，即或若，则，由于中含，故中必须1、3邻接，1、5邻接，5、7邻接，8、3邻接，这时只有唯一的排法，由此得到一种塔：若，则，类似知中必须1、2邻接，5、6邻接，4、8邻接，这时有两种排法，得到两个塔： (2) 如果，则，这时或，即或若，则，为得到中的，中必须1、3、9两两邻接，这不也
4、许；若，则，为得到中的，中必须2、4邻接，1、7邻接，9、3邻接，于是有两种排法，得到两个塔：(3) 如果，则，这时，即，为得到中， 中必须6、2邻接，6、3邻接，10、1邻接，10、2邻接，只有唯一排法，得到一种塔：因此，构造不相似的“塔”共有个第十届东南数学奥林匹克解答第二天(7月28日 上午8：0012：00) 江西 鹰潭1. 设，表达不超过的最大整数对整数，若有关的方程有实数解，则称为好数求集合中好数的个数（吴根秀提供）解 先指出两个明显的结论：(a) 若为正整数，为实数，则；(b) 对任意整数与正偶数，有下面我们求解原问题在结论(a)中令并求和，可知，这表白方程有实数解当且仅当方程有
5、整数解如下只需考虑为整数的状况由于， 因此单调递增下面找整数，使得注意到，因此又由于，故因此中的好数就是中的奇数在中令，由结论(b)知，因此，这阐明中恰有一种为奇数，从而中恰有个奇数，即集合中的好数有587个2. 设为不小于1的整数将前个素数从小到大依次记为（即，），令求所有正整数，使得为偶数，且恰有个不同的正约数（何忆捷提供）解 由已知得，注意到，故可设，其中此时有，故不同的正约数个数为由已知得 下面数学归纳法证明：满足的数组必为(1) 当时，变为，其中若，则，无非负整数满足；若，则，可得从而，即时结论成立(2) 假设时结论成立（其中），则当时，变为 若，则考虑到，故的左边不能被整除，但此时
6、的右边是的倍数，矛盾！若，则变为注意到为奇素数，因此一方面为偶数，从而上式左边为偶数，而另一方面，右边为奇数从而必有但此时，故左边是4的倍数，但右边不是4的倍数，仍矛盾！由上述讨论知，只能，此时中，因而由归纳假设知从而，即当时结论成立由(1)、(2)可断定，故所求正整数为3. 将正方形任意一种角上的正方形挖去，剩余的图形称为“角形”（例如，图1就是一种角形）现于方格表（图2）中放置某些两两不重叠的角形，规定角形的边界与方格表的边界或分格线重叠求正整数的最大值，使得无论以何种方式放置了个角形之后，总能在方格表中再放入一种完整的角形（何忆捷提供）解 一方面有，这是由于，若按图1的方式放置8个角形，
7、则不能再于方格表中放入另一种角形下面证明：任意放置7个角形后，仍可再放入一种完整的角形将方格表的第5、6行及第5、6列遮住，留出4个正方形当放置7个角形后，由于每个角形不能与两个上述正方形相交，故根据抽屉原理知，必存在一种的正方形，使得与相交的角形至多1个，而角形可被正方形所涉及，故正方形被角形所占据的部分必涉及于它的某个角上的正方形如图2所示，我们可以在除去一种角上正方形后剩余的部分放置一种新的角形因此时符合题意综上所述，有4. 设整数，满足，若对任意满足上述条件的，均有，求的最小值（李胜宏提供）解 令，此时条件成立，故须满足，解得记下面证明，对任意满足条件的，有 由题目条件知，这里用到了结论：当时，有 （为完整起见，我们将的证明过程附在最后）因此，为证，只需证明对，有，即 事实上，因此 又由于，故 由、可知成立，从而成立 综上所述，注 可以直接用Hlder来证明，亦可由Cauchy不等式进行如下推理：；由以上三式知
