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1、5 4抛物线与直线形（1）由动点生成的特殊三角形问题知识点归纳抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其 能够成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式：（1） 抛物线上的点能否构成等腰三角形；（2） 抛物线上的点能否构成直角三角形；（3） 抛物线上的点能否构成相似三角形；解这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。经典例题【例 1】如图，抛物线 y =ax2- ax +经过DABC的三个顶点，已知BCx轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC =BC（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A, B, C三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是
2、抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在DPAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由（龙岩市中考题）1y kx 2kx 3ka、b( )思路点拨对于（ 3）只需求出 P 点纵坐标，将问题转化为相关线段长。解题的关键是分情况讨论并正确画图。【例 2 】已知抛物线 = 2 + -，交x轴于A, B两点（A在B的左边），交y轴于C 点，且 y 有最大值 4 （1）求抛物线的解析式；（ 2 ）在抛物线上是否存在点P，使DPBC是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由思路点拨（包头市中考题）对于（2），设P 点坐标为 a, b ，寻找相似三角形，建立 的另
3、一关系式，解联立而得到的方程组，可求出a、b的值。2( )1 2 30( )【例 3】抛物线 y =-14x - +与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C（1） 如图 1求点 A 的坐标及线段 OC 的长；（2） 点 P 在抛物线上，直线 PQ BC 交 x 轴于点 Q ，连接 BQ 若含45角的直角三角板如图2所示放置其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点 E 在 PQ 上求直线 BQ 的函数解析式；若含 30 角的直角三角板一个顶点与点 C 重合，直角顶点 D 在直线 BQ 上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标（更多资料扣：418 五五四 990）思路点拨对
4、于（2），解题的关键是求出CQ的长。由条件出发，构造全等三角形或相似三角形，而能发现C、D、Q、E四点共圆，可使问题获得简解。【例 4】如图 1，抛物线 y =ax2+bx +c a 的顶点为C (1,4)，交x轴于A, B 两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为(3,0)3（1） 求抛物线的解析式；（2） 如图 2 ，过点 A 的直线与抛物线交于点 E ，交 y 轴于点 F ，其中点 E 的横坐标为 2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D, G , H , F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G , H的坐标；若不存在，请说明
5、理由；（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MNBD，交线段AD于点N，连接MD，使DDNM DBMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由（2011 深圳市中考题）思路点拨对于（ 2），因DF 是一个定值，故需使DG +GH +HF最小即可，从轴对称入手；对于（3）由题意知NMD =BDM，要使DDNM DBMD，只要使NM MD=MD BD，即MD 2 =NM BD；或从角入手得到隐含的相似三角形。4( )同步训练1. 如图 1 ，已知抛物线的顶点为（1）求抛物线的解析式；A 2,1，且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B （2）若点
6、C在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以O, C , D, B四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标；（3）连接OA, AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得DOBP与DOAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由（临沂市中考题）5y( ) ( )( )(B2. 如图，已知抛物线与 x 轴交于（1）求抛物线的解析式；A -1,0 , B 3.0 两点，与 轴交于点C 0,3 （2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得DPDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 M 是抛物线上一点，以
7、标B, C , D , M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐（临沂市中考题）3. 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C -1,0)如图所示， 点在抛物线 y =1 1 x 2 + x -2 22图象上，过点 B 作 BD x 轴，垂足为 D ，且 B 点横坐标为 -3 （1）求证：DBDC DCOA；（2） 求 BC 所在直线的函数关系式；（3） 抛物线的对称轴上是否存在点 P ，使DACP是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由（更多资料扣：418 五五四 990）6( ) (4. 已知抛物线y
8、 =ax 2 +bx +c的对称轴为直线 x =2 ，且与 x 轴交于 A, B 两点，与 y 轴交于点 C ，其中 A 1,0 , C 0, -3（1）求抛物线的解析式；)（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）如图 1当 DPBC 面积与 DABC 面积相等时求点 P 的坐标；如图 2当PCB =BCA 时，求直线 CP 的解析式（更多资料扣：418 五五四 990）735. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 抛 物 线 y =ax2+bx + 与 x 轴 的 两 个 交 点 分 别 为A(-3,0),B(1,0)，过顶点C作CH x轴于点H（1）直接填写：a =，b =，顶点C的坐标为 ；（ 2）在 y 轴上是否存在点 D ，使得 DACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ AC于点Q，当DPCQ与DACH相似时，求点P的坐标（更多资料扣：418 五五四 990）8
