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1、数 模 作 业 讲 解1跑步问题某人恰好用10分钟跑完2000米，试证明在这10分钟内，至少有一个5分钟时间区间，他在这5分钟内，恰好跑完1000米。解：设在时间0,t (t10)内，他跑了s(t)米，则s(t)是连续函数且s(0)=0, s(10)=2000.再设f(t)= s(t+5)-s(t) (t5),则f(t)表示他在时间区间t,t+5所跑的距离，f(t)也是连续函数.现只要证明至少有一点t00,5 使f(t0)=1000.f(0)=s(5)-s(0)= s(5), f(5)=s(10)-s(5)=2000-s(5)若s(5)=1000，则t0=0；若s(5)1000，则f(0)10
2、00； 若s(5)1000，则f(0)1000且f(5)0)枚正面， m-a枚反面的一轮翻转.k -当前的正面数. 选a枚正面和m-a枚反面的一轮翻转后，正面数的变化量为 ，（1）由（1）式可见，当m是偶数时，每一轮翻转后，正面数的变化量总是偶数. 不可能把正面数从奇数化为0. 故有结论1：当n是奇数m是偶数时，本问题无解.如果问题有解，则最后一轮必是有m枚正面，nm枚反面. 那么，倒数第二轮的状态如何呢？设选a枚正面，ma枚反面，则正面数有.而，即要求是偶数. 故有结论2：当mk2m是偶数时，先选k/2枚正面和mk/2枚反面翻一轮，再做一轮纯翻转即可成功.设 ， （2）其中，t为n除以m的余
3、数，, s2为正整数. 先做s-1轮纯翻转，得k=m+t.情形一，m是奇数（不论n是奇数还是偶数）. 只有如下3种可能：（）t=0. k=m, 再做一轮纯翻转就成功. （） t (m)是奇数. k=m+t.是偶数，且mk2m. 由结论2，只需再翻两轮必会成功. （）t (m)是偶数. 再做一轮纯翻转后化为k=t. 由结论2，只需再翻两轮必会成功. 情形二，n，m都是偶数. 由(2)式知t是0或偶数, k= m+t是偶数，由结论2，至多再翻两轮就会成功.综合条件轮数m奇t=0st奇s+1t偶s+2n偶，m偶t=0st偶s+1n奇m偶无解例1n=8，m=3, s=2, t=2. 翻4轮必成功(0-
4、正面，1-反面)步骤过程（0）（1）（2）（3）（4）0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 0 01 1 1 1 0 0 1 01 1 1 1 1 1 1 1例2 . n=7，m=3, s=2, t=1. 翻3轮必成功步骤过程（0）（1）（2）（3）0 0 0 0 0 0 01 1 1 0 0 0 01 1 0 1 1 0 01 1 1 1 1 1 1注: 可把以上的条件2mn , 改为 m n , 但难度会稍大. 例 n=16，m=13, t=3. 步骤过程（0）（1）（2）（3）（4）（5）（6）0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 01 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 01 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13
