《【中考数学培优专题】专题5“等积对称”之反比例函数(教师版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【中考数学培优专题】专题5“等积对称”之反比例函数(教师版)（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题 5 “等积对称”之反比例函数 知识要点1 关注函数的图象，掌握反比例函数的概念与性质2 理解反比例函数中的比例系数 k 的几何意义，并能灵活应用3 运用数形结合思想解决含字母系数的反比例函数的相关综合问题 【知识点拨】双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形典例赏析类型一 反比例函数图象性质例 1 已知 A （x ，y ），B（x ，y ）为双曲线 y1 1 2 2两点kx上的两个动点，直线 yaxb 经过 A ，B若 A 和 B 的横坐标分别为 1 和3，k0，求 ax b 若 b0，k6，求 2x y3x y 的值；1 22 1kx的解集；如图 52，若 b0，点 A ，B 分别位于第
2、一、三象限，M （m ，n）（在点 A 左侧，m 0） 是双曲线上一动点，设直线 AM ，BM 分别与 y 轴相交于 P ，Q 两点，且 MA pMP ，MB qMQ ，求 pq 的值k k【分析】不等式 ax b 的解集即为求当 x 取何值时，直线 yaxb 在双曲线 y 的x x上方，通过数形结合，可以很快得出答案当 b0 时，正比例函数图象与双曲线的交点 关于原点对称作 AA x 轴于点 A ，MM x 轴于点 M ，设 A 点的横坐标为 t，则 B 点1 1 1 1的横坐标为t，得 p 和 q 关于 t 的关系式，作差求解【解】由一次函数 yaxb 和反比例函数 ykx的图象可知，当3
3、x0 或 x1 时， ax bkx当 b0 时，正比例函数图象与双曲线的交点关于原点对称有 x1x ， y2 1y ，2 2x y1 23x y2 12x y1 13x y 又 x y 2 2 1 1x y2 26 ， 2x y1 23x y2 16 如图 52，作 AA1x 轴于点 A ， MM11x 轴于点 M 1设点 A 的横坐标为 t，则点 B 的横坐标为t，由 M （m ，n），有 pMA A M t m1 1MP M O m1同理 qMB m tMQ m， p qt m m tm m2 【点评】数形结合是处理函数问题的重要解题思想，要训练和树立起相关意识反比例函数 图象的对称性在解
4、题中往往发挥很重要的作用，无论是中心对称还是轴对称对于一些动点 问题，纯函数的计算，利用相关几何性质能在很大程度上简化计算，应善于寻找函数里的几 何关系并应用相应性质拓展与变式 1 如图 53，已知直线 y1 k x 与双曲线 y2 xk 0 交于 A ，B 两点，且点 A的横坐标为 4，过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线ykxk 0 于 P ，Q 两点（点 P 在第一象限），若由点 A ，B ，P ，Q 为顶点组成的四边形面积为 24，则 P 点坐标为_【答案】由双曲线中心对称性可知，P，Q 关于原点对称，则有如下两种情况（如图 D 51）：（i）若 A 在 P 右侧，分别作 PE ，A
5、F 垂直 x 轴于 E ，F 两点，A（4，2），k8，设 P m,8m，由 POE和 AOF的 面 积 相 等 可 知 POA和 四 边 形 PEF A 的 面 积 都 等 于 6 ， 有1 822 m4 m 6 ，解得 m 2 或8（舍去）（ii）若 A 在 P 左侧，分别作 PE ，AF 垂直 x 轴于 E ，F 两点，则（i）有1 822 mm 4 6 ，解得 m 8 或2（舍去）综上所述，P 点坐标为（2，4）或（8，1）拓展与变式 2 如图 54，已知直线 yx2 分别与 x 轴、y 轴交于 A ，B 两点，与双曲线 ykxk 0 交于 E ，F 两点，若 AB 2EF ，则该双曲
6、线的解析式为_3 1【答案】如图 D 52，由该双曲线关于 yx 对称可知，AE :AB 1：4，得 E , ，即该双2 2曲线的解析式为 y34 x拓展与变式 3 如图 55，已知函数 y4 k x 与反比例函数 y3 xk 0 的图象交于点 A ，将y43x 的图象向下平移 6 个单位长度后与反比例函数 ykxk 0 交于点 B ，与 x 轴交于点C 求点 C 的坐标；若OACB2 ，求反比例函数的解析式【答案】直线 BC ： y43x 6 ，令 y0 得 x9 9，即 C ,0 2 2如图 D 53，分别作 AD ，BE 垂直 x 轴于点 D ，E ， AOD BCE 又OACB2 ，则
7、AD 2BE ，OD 2CE 设 CE m ，则 OD 2m A 和 B 都在反比例函数图象上， 2m AD92m BE ，即 4m9 3 m ，解得 m2 2A （3，4），反比例函数解析式为 y12xx 0 类型二 k 的几何意义与求法【知识点拨】充分利用 k|的几何意义例 2（2017 宁德质检）如图 56，已知动点 A ，B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，动点 P 在6反比例函数 y x 0 的图象上，PA x 轴 PAB 是以 PA 为底边的等腰三角形当点 Ax的横坐标逐渐增大时 PAB 的面积将会_（填“变大”、“变小”或“不变”）【分析】显 PAB 的形状是变化的，但 PA
8、始终垂直 x 轴， SPABSPOA【解】连接 OP ，PA OB ，PAB 面积 POA 面积因为同底等高而相等又点 P 在1 1反比例函数图象上，PAB 面积 OA PA 6 3 当点 A 的横坐标逐渐增大时 PAB2 2的面积保持不变，始终为 3，因此填“不变”【点评】反比例函数与面积的相关问题，注意利用 k|的几何意义k拓展与变式 4 如图 57，已知双曲线 y k 0 的一支继续过 OAB 斜边 OB 的中点xD ，与直角边 AB 相交于点 C ，OA 在 x 轴上，DE x 轴于点 E ， OBC 的面积为 3，则 k _OBAOBC OBA OACEBC AEB AOB【答案】S
9、 ： 4:1，S S OBA ODE ODE OAC12k ， 2k，S S S1 3 2k k K 3 ，k22 2拓展与变式 5 如图 58，RtABC 的直角边 BC 在 x 轴正半轴上，D 为斜边 AC 的中点，DB的延长线交 y 轴负半轴于点 E ，反比例函数 y 为 4，则 k 的值为_kxk 0 的图象经过点 A ， BEC 的面积【答案】解法一： ABC EOB ，AB :OE BC :OB ，得 AB OB OE BC 248，即 k 81解法二：连接 AO ，EC ，AE ，则 S k 4 ，则 k82类型三 综合应用【知识点拨】设元消参，算证结合，恰当设出点的坐标，把证明
10、与计算相结合k例 3 如图 59，已知在矩形 OABC 中，OA 2，AB 4，双曲线 y k 0 的一支与矩x形两边 AB ，BC 分别交于点 E ，F ，若 BEF 沿直线 EF 对折，B 点落在 x 轴上的点 D 处， 作 EG OC ，垂足为 G ，求 k 的值【分析】求 k 值，通常可以通过设元法求出反比例函数上一点的坐标，或者由其构成的相关 三角形或矩形面积，利用 k 的几何意义求解本题涉及轴对称知识，因此应先寻找对应的边ED BE角关系，不难发 EDG DFC ，且相似比为 ，求出这个比值是关键DF BF1 1 BE【解】设 E（m ，2），则F 4, m ，BE AB AE 4
11、m ，BF BC CF 2 m ，则2 2 BF2 由折叠知EDF 90， EDG DFC ，EG GD ED BEDC CF DF BF2 EG 2，DC 1，GD 2CF m ，OC OG GD DC ，4m m 1，m323 ，则E 2, 23 k 2 3 2【点评】熟悉折叠中存在的线段和角的对应关系，本题的关键点不难得到要注意反比例函 数与矩形相交的性质（EF AC ），在图 59 中可设 B ，C ，A ，E ，F 五点坐标，通过线段 比验证拓展与变式 6 如图 510，已知点 A （2，3）和点 B （0，2），点 A 在反比例函数 ykx的图象上，作射线 AB ，再将射线 AB
12、绕点 A 逆时针方向旋转 45，交反比例函数图象于点 C ， 则点 C 的坐标为_【答案】如图 D 54，过点 A （2，3）作 AE y 轴于点 E ，再过点 B 作 BG AB 交 x 轴于点 G ，由 A ，B 两点坐标不难得到 OB AE 2，BE 1，进一步可证 ABE BGO （AAS ）， 从而 OG 1，且 AB BG ，因此GAB 45，即 G 点也必在射线 AC 上，由 A ，G 两点坐标可求直线 AC 为 y3x3另一方面，点 A （2，3）在双曲线 yk 6 上，得双曲线 y x x，联立两解析式 y3x3 和 y6x可求得 C （1，6）对接中考【同步练习】1如图 511，已知点 A ，B 分别在反比例函数 y1 4x 0 ， yx xx 0 的图象上，且OA OB ，则OBOA的值为_【答案】过点 A ，B 分别引 x 轴垂线，垂足分别为 E ，F ，由 OAE BOF可得SB O FO A EOBOA2OB4 ， 2 OA2如图
