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1、自由电偶极子空间各点的电势摘要:给出一种用分离变量法求解均匀介质球内外放有点电荷或自由偶极子等类问题电势的新方法。关键词:电偶极子；分离变量法；拉普拉斯方程；唯一性定理；电势。Abstract :Give an a kind of the new method that solve static electricity a problem with separation variable the way.Key words :separate variable the way ;laplace equation ;unique axioms ;potentiality前言：分离变量法（文献1）
2、是求解静电场边值问题的基本方法,由于应用广泛,题型变化多,不容易掌握。尤其对于用分离变量法求均匀介质球内外放有点电荷或自由电偶极子这类问题的电势时,虽然大多教材中的给出了解析,但大多解法相同且不好理解。我在此演示一种求解这类问题的新思路,不仅概念清楚,容易接受,而且较为简便,且得出和题解中完全相同的结果。以下针对例题说明：题目： 半径为R 的均匀介质球(电容率为) 中心置一自由电偶极子(其电偶极矩为p) ,球外充满了另一种介质(电容率为) ,求空间各点的电势。此题比较典型,文献3和文献4中均有详细求解,其基本思想是:空间各点的电势是由电偶极子的电势和球面上极化电荷所产生电势的叠加,前者可分析得
3、出，后者满足拉普拉斯方程, 以球心为原点, p 的方向为极轴方向, 建立球坐标系,由对称性可得球内外电势表达式为： +， rR (1) +， rR (2)根据边值关系,确定系数,可得: , rR (3) , rR (4) 这便是所求的电势(详细的求解过程可参考文献1)问题的关键是:对于球内电偶极子产生电势为，比较容易接受，但是电偶极子在球外电势的贡献为什么也是而不是呢，这个一般不好理解，如何寻找一种使人更容易理解又简便正确的方法呢?我经过反复琢磨,终于找到一种行之有效的方法,现在作以下介绍：分离变量法解静电场问题的依据是唯一性定理. 而唯一性定理告诉我们:给定区域V 中的介质(均匀分区) ,以
4、及自由电荷分布和,及V 边界面S 上的边界条件(/ S 或) ,则V 内的电场E 唯一的确定。根据题意分析可知,由于球外无自由电荷分布,即 = 0 ,所以由唯一性定理可知球外电势满足拉普拉斯方程,即 ,且具有轴对称性,所以方程的通解为： rR考虑到r 时,2 0 ,所以an = 0, (5)球内电势1 可看做电偶极子的电势与界面束缚电荷p 的电势的迭加. 而满足拉普拉斯方程,也具有轴对称性,所以方程的通解为 所以球内电势的通解形式为 , rR (6)考虑到r = 0 时,1 有限,所以dn = 0 在r = R 的边界条件为1 = 2 把(5) 和(6) 两式分别代入以上两式,然后比较Pn (
5、cos) 的系数,可得出 = 0 , = 0 ( n 1) , =把上式代入(5) 和(6) 式可得所求电势的解为, rR (7) , rR (8)比较(3) 和(7) , (4) 和(8) 可看出两种解法结果完全相同.利用科学计算与模拟平台对（7），（8）进行作图：（蓝色是球内，红色指的是球外）源程序：void demoApp:RenderScene(int sceneIndex) title.Show(83, 0, 55, false);/ 在(0,0,0)处显示汉字内容，不可移动 static Point3f p101101,p1101101,q3, s2;static Color4f
6、color=0.6,1.0,1.0,1,color1=0.2,0.8,0.9,0.8;Orient direct = 0.0f, 90.0f;int i,j;float a,b,c;double u,n;s0.x=0; s0.y=0; s0.z=-40;s1.x=-80; s1.y=0; s1.z=-40;q0.x=0; q0.y=80; q0.z=-40;q1.x=80; q1.y=0; q1.z=-40;q2.x=0; q2.y=0; q2.z=80; for(i=0;i101;i+) for(j=0;j101;j+) a=i*3.141592/100; b=j*3.141592/50;u
7、=0.1+15*(pow(4*3.14*V*pow(P_radius,2),-1)*P_omega*cos(a)+P_radius*P_omega*cos(a)*(V-M)/(2*3.14*V*(V+2*M);pij.x=u*sin(a)*cos(b);pij.y=u*sin(a)*sin(b);pij.z=-40+u*cos(a);n=0.1+300*P_omega*cos(a)*pow(P_radius,-2)/(4*3.14*(V+2*M);p1ij.x=n*sin(a)*cos(b);p1ij.y=n*sin(a)*sin(b);p1ij.z=-40+n*cos(a);glt:Enab
8、leLight();draw:Arrow3D(s0, q0, 0.0, 0.5, 10, 2, cWHITE, cRED, false,0,0,0);draw:Arrow3D(s1, q1, 0.0, 0.5, 10, 2, cWHITE, cRED, false,0,0,0);draw:Arrow3D(s0, q2, 0.0, 0.5, 10, 2, cWHITE, cRED, false,0,0,0);if(GetCheck(1)draw:SurfaceWithNormals(101,101, p0, color);elsedraw:SurfaceWithNormals(101,101,
9、p10, cRED);参考文献:1 数学物理方法与特殊函数 华中科技大学 李元杰 编著 20092 高等数学（第五版） 同济大学应用数学系 主编 3 电动力学题解M . 林璇英等.北京:科学出版社,1999.4 电动力学解题指导M . 王雪君. 北京:北京师范大学出版社,1998.学习数学物理的感想：回想起学习数学物理这一门课程的过程，感觉这是一次充满挑战和难忘的旅程。数学物理这门课程对于我们初学者来说，的确是有难度的，一开始接触那些函数，并不好理解，不过在自己的慢慢摸索中，也找到学习数学物理的一些方法。虽然仅仅有短短的五周的学习时间，但是我感觉学到的这一些东西对于我将来的物理的学习都是非常有
10、用的，也是值得我在往后的日子继续去深入学习。在这五周的学习里，感觉老师对课程的理解和讲授，给我学习这门课程给予了很好的指导方向，让我建立起信心。我十分认同老师所讲的教学应该将“方法、思想、知识”相结合的这一个理念，和我以前上的课是完全不一样的，慢慢学会很多解决问题的思想与方法如“分离变量”“边界决定内部”“通过内积思想确定系数”“如何根据常微分方程看出通解”等等，这一些都是引导了我学会怎样去读好这个课本的关键。还有利用老师给我们带来的那个“科学计算与模拟平台”，让我们的物理更加直观和形象,也正如老师所说的“将数学进行到底”那样。我在这一次开卷的作业利用在数学物理课上学到的分离变量法解决一个“自由电偶极子空间各点的电势”的问题，也利用“科学计算与模拟平台”作出相关图形。
