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1、 做中国真正“一站式”教学服务品牌-成长快乐教育学科教师辅导教案学员姓名： 年 级： 高三 课 时 数： 班 主 任： 辅导科目： 数学 学科教师： BeMaris 授课主题函数（二）复合函数的表达式 教学目标1、 熟练复合函数的两种表达式之间的相互转换教学内容复合函数的表达式上节课中我们学习了函数的定义，在附录中回顾了基本初等函数，这些基本初等函数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、乘方、开方、取绝对值、取模、取余等）后所构成的函数类型是我们最常见的.更为复杂一点的是函数的复合运算，我们今天的主题就是复合函数的表达式.还记得上节课中的图1.1吗？我们用这个工具来描述函数复合运算过程中的变量
2、关系.图2.1 复合函数的表达式从图2.1中可以看出，由得到，有两种方法：1、 先将由转换成，再将由转换成，在这个过程中，你会发现为什么变量会被称为中间变量.2、直接将由转换成.上面两种方法是等效的，即与是等效的，这就是复合函数的两种表达形式，后面讨论的复合函数的定义域、值域、单调性、复合函数的求导等都以它为基础，不过在这之前，我们最好熟练掌握与这两种表达形式的互换.问题1：将下列复合函数由的表达形式改写成的表达形式. （1） （2） （3）解析：将改写成时，这个过程相当于剥洋葱，由外及里，先找出，再得出，在这里，你要相当熟悉基本初等函数的表达式.答案：（1）； （2）或； （3） .注意你得
3、到的答案可能不唯一，如果有后续分析的话，你需要选择一个简洁、简单点的表达形式.问题2：已知，求的表达式.解析：利用图2.1解决这道题求的表达式，实际上是求的表达式，只不过是在求出的表达式后，将这个函数关系中自变量的符号改写成而已，最终的表达式与的“”同名但不同意义.消去后得 所以将“”换成“”得到：在复合函数两种表达形式互换问题中，还经常出现一种“自我嵌套”的现象，尤其是分段函数的自我嵌套.我先用图2.1这个工具来解释一下何为“自我嵌套”.图2.2 自我嵌套在图2.2中，两个函数与，我们只能知道这两个函数的对应法则是相同的，而它们的定义域是否相同、值域是否相同是没有要求的.这就是复合函数中的自
4、我嵌套的特征.顺便，我们来复习一下函数相等的知识，比如判定与相等，那么一定满足： （1）自变量相同 符号可以不一样，但指代内容一定要求相同，即所谓的同物不同名.自变量的取值范围即定义域相同. （2）对应法则相同 在满足（1）后，与的表达式要求能够互换. 比如常见的有：与、与、与等. （3）因变量相同 符号可以不一样，但指代内容一定要求相同，同时因变量的取值范围即值域相同.问题3：一般地，只需要满足（1）、（2）就可以了.但是如果只满足（1）、（3）或者（2）、（3）是不能够得出与相等的.请给出反例.解析： （1）、（3）的反例：与 （2）、（3）的反例：与问题4：将下列复合函数由由的表达形式改写成的表达式. （1） （2） （3）答案：（1）； （2）； （3）或.课后作业：1、定义，求： （1）的表达式； （2）的表达式； （3）在的表达式中，何时取最值，并求出最值.2、在这节课中，我们讨论的复合函数两种表达形式的互换过程中，暂时没有考虑到复合函数的定义域、值域、单调性、求导法则，这些问题将插在以后的课程中学习.下节课，我们讨论的是：曲线图像的变化，包括平移、翻折、旋转、伸缩.请同学们提前复习基本初等函数的图像、圆锥曲线的图像.1 在成长中快乐学习，在学习中快乐成长！
