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1、高考中三次函数图象的切线问题一、已知斜率为k与三次函数图象相切的切线三次函数f(x)，ax3+bx2+cx+d(a0)1、a0，斜率k，3acb2时，有且只有一条切线;3ak3aCb2时，有两条不同的切线；3ak竺土时，没有切线；3a2、a0，斜率k，3acb2时，有且只有一条切线;3ak3aCb2时，有两条不同的切线；3ak竺土时，没有切线；3a证明f/(x)，3ax2+2bx+c1、a0当x，-b时，f/(x)，3ac-b2.3amin3a.当k，_时，方程3ax2+2bx+c，_有两个相同解,3a3a所以斜率为k的切线有且只有一条；其方程为：b3a3ac-b23a#当k时，方程3ax2+
2、2bx+C=k，有两个不同的解xi,x2，且#xx=-,即存在两个不同的切点(x,f(x),(x,f(x),且两个切点关于1 23a1122三次函数图象对称中心对称。所以斜率为k的切线有两条。当k,3ac-b2时，方程3ax2+2bx+c=k无实根，所以斜率为k的切线不存3a在。2、a,0时，读者自己证明。二、过三次函数图象上一点的切线设点P为三次函数f(x)二ax3bx2cxd(a0)图象上任一点，则过点P一定有直线与y=f(x)的图象相切。若点P为三次函数图象的对称中心，则过点P有且只有一条切线；若点P不是三次函数图象的对称中心，则过点P有两条不同的切线。证明设P(x,y)过点P的切线可以
3、分为两类。111 P为切点k=f/(x)=3ax22bxc1111切线方程为：y一y=(3ax22bxc)(x一x)11112 P不是切点，过P点作y=f(x)图象的切线，切于另一点Q(x,y)221 y一yax3一ax3bx2一bx2cx一cxk212121212 x一xx一x2121=ax2axxax2bxbxc2 121121)又k=f/(x)=3ax22bxcc3ax22bxc2221bx=-x一代入(1)式2212a2222ax2axxax2bxbx2121b即(x一x)(2xx)0b2c14a2121a31得k=ax2bx-2412讨论：当k=k时,3ax22bx3 1b2cax2
4、bxc141214ab.X，也就是说，13ab.当x，时，两切线重合，所以过点P有且只有一条切线。13ab当x时，k丰k，所以过点P有两条不同的切线。13a12其切线方程为：yy，(3ax22bxc)(xx)11113 1b2yyi，(_ax2+bx+c)(xx)4 1214a1由上可得下面结论：过三次函数f(x)，ax3+bx2+cx+d(a丰0)上异于对称中心的任一点P(x,y)作y，f(x)图象的切线，切于另一点P(x,y)，过P(x,y)作y，f(x)111222222图象的切线切于P(x,y)，如此继续，得到点列P(x,y)P(x,y)，3 33444nnn1b则x，-x一，且当nT
5、+时，点趋近三次函数图象的对称中心。n12n2a证明设过P(x,y)与y，f(x)图象切于点P(x,y)的切线为PP，nnnn+1n+1n+1nn+1yyk，*+-n，ax2+axx+ax2+bx+bx+cxxn+1n+1nnn+1nn+1n又+ck，f/(x)，3ax2+2bxn+1n+1n+1ax2+axx+ax2+bx+bxn+1n+1nnn+1即(xx)(2x+x+)，0.n+1nn+1na1b设x+九，一_(x+九)贝y九，一n+12n3ab1数列x+匕是公比为-的等比数列,n3a2x，n+1+c=3ax2+2bx+cn+1n+1b2a#b3a即limx，nnT、过三次函数图象外一点
6、的切线设点P(x,y)为三次函数f(x)，ax3+bx2+cx+d(a丰0)图象外00一点，则过点P一定有直线与y，f(x)图象相切。#b(1) 若x=-一,则过点P恰有一条切线；03abb(2) 若x，-一,且g(x)g(-一)0，则过点P恰有一条切线；03ao3abb(3) 若x，-匕,且g(x)g(-匕)=0,则过点P有两条不同的切线;03a03abb(4) 若x，-匕,且g(x)g(-匕)0，则过点P有三条不同的切线。o3ao3a其中g(x)二yf(x)+f/(x)(xx).00证明设过点P作直线与y=f(x)图象相切于点Q(xj),则切线方程为yy=(3ax2+2bx+c)(xx),
7、1111把点P(x,y)代入得：002ax3+(b3ax)x22bxx+ydcx=0，1010100设g(x)=2ax3+(b3ax)x22bxx+ydcx.0000g/(x)=6ax2+2(b3ax)x2bx,00A=4(b3ax)2+48abx=4(3ax+b)2,000b令g/(x)=0,贝Vx=x,x=一.03a因为g(x)=0恰有一个实根的充要条件是曲线y=g(x)与X轴只相交一bb次，即y=g(x)在R上为单调函数或两极值同号，所以x=-匕,或x，-幺,03a03ab且g(x)g(-一)0时，过点P恰有一条切线。03ag(x)=0有两个不同实根的充要条件是曲线y=g(x)与X轴有两个公共bb点且其中之一为切点，所以x，一,且g(x)g(一)=0时，过点P有两条03a03a不同的切线。g(x)=0有三个不同实根的充要条件是曲线y=g(x)与X轴有三个公共b点，即y=g(x)有一个极大值，一个极小值，且两极值异号。所以x，一,03ab且g(x)g(-一)0时，过点P有三条不同的切线。03a#
