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1、年级初二学 科数学编稿老师巩建兵课程标题二次根式的加减一校黄楠二校林卉审核王百玲一、考点突破本讲涉及的主要考点包括：（1）二次根式的加减运算；（2）同类二次根式；（3）二次根式的混合运算；（4）乘法公式在二次根式运算中的运用。在能力方面，注意掌握二次根式的运算技巧，对四则混合运算与整式的混合运算进行比较，理解知识之间的联系。从最近几年中考命题趋势来看，以考查运算能力为主，通常以填空、选择、计算、化简求值题的形式出现，常综合分式、实数、三角函数等知识一起考查，难度中等，所占分值在6分以上。二、重点、难点提示重点：二次根式的加减运算以及加、减、乘、除四则混合运算。难点：二次根式的分母有理化。知识脉
2、络图能力提升类例1 选择题：（1）下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D. （2）若2与6可以进行合并，则a的值是（ ）A. B. C. D. 一点通：（1）要判断两个二次根式是不是同类二次根式，需要先将它们化为最简二次根式，再看被开方数是否相同，2，3。由此可得，选D。（2）由题意可知，这两个二次根式化简后的被开方数相同。因此，先把这两个二次根式进行化简：2，63。依题意，知126a2a3，解得a，当a时，0，0，故选D。答案：（1）D；（2）D。点评：（1）几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式；（2）此题的易错之处在最后
3、一步，根据题意，在求出a的值后，有些同学没有检验被开方数的正负，就盲目选择了答案。例2 计算：（1）62x；（2）1。一点通：先将各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式。答案：（1）62x362x232（232）3；（2）1112122。点评：合并同类二次根式，只把它们的系数相加，根指数和被开方数都不变。综合运用类例3 计算：（1）3（3）；（2）（44）（2）。一点通：（1）和（2）中都有除法运算，通常先将其转化为乘法运算。答案：（1）3（3）37；（2）（44）（2）（44）（22）44226422622。点评：在进行二次根式的混合运算时，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先
4、算括号里面的（或先去括号再计算）。实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律等）在二次根式的运算中仍然适用。例4 计算：（1）（ab）；（2）（）（）；（3）（25）（52）；（4）（32）2。一点通：（1）题可用分配律；（2）题可用多项式乘以多项式的法则；（3）、（4）题可用乘法公式。答案：（1）（ab）（abab）ababa2bab2ab；（2）（）（）（2）（34）34232464624182；（3）（25）（52）（5）2（2）2502822；（4）（32）2（3）2232（2）25436126636。点评：在运算过程中，每个根式可以看做是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和
5、可以看做是“多项式”。有理数（或整数）运算中的运算律、运算法则及所有的乘法公式，在二次根式的运算中仍然适用。思维拓展类例5 已知1的整数部分为a，小数部分为b，求的值。一点通：因为，即23，所以的整数部分是2，所以a3，小数部分b132。把a、b代入计算即可。答案：通过估算得知a3，b132。点评：解答这类问题时，应注意一个二次根式的整数部分可通过估算获得，这个二次根式减去整数部分后，剩余的就是其小数部分。例6 计算：。一点通：解此类题目时，一般先把它们化为两个数的差的形式，中间的项可以互相抵消，只剩下前后两项。答案：原式1121。点评：解这类问题时，一般先化去分母，通过可把分数形式化为无分母
6、的整数形式。一、二次根式加减的实质二次根式的加减，实质是合并同类二次根式。（1）同类二次根式的合并方法与同类项的合并方法类似，即系数相加，根指数与被开方数保持不变，如34。（2）二次根式的加减运算，首先要把二次根式化为最简二次根式，其次把其中的同类二次根式进行合并。（3）非同类二次根式不能合并，如（ab0）就是最简结果，不能合并。（4）二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式，如1应写成。二、二次根式的分母有理化在分母含有根号的式子中，把分母中的根号化去，叫做分母有理化。分母有理化的两种方法：（1）利用分数的基本性质，分子与分母都乘以分母的有理化因式。两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的
7、积不含二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。互为有理化因式的特点：它们必须是成对出现的两个代数式；这两个代数式都含有二次根式；这两个代数式的积化简后不再含有二次根式；一个二次根式可以与几个不同的二次根式互为有理化因式。常用的有理化因式有：与，与，与，与，ac与ac。（2）把分子分母分解因式，约去分母中含有二次根式的因式。二次根式混合运算中几个值得注意的问题在进行二次根式的混合运算时，除了需要掌握有关的法则和性质外，还要注意以下几个问题：（1）实数运算中的运算法则、运算律和乘法公式等，在二次根式的运算中仍然适用。（2）利用分母有理化，可以进行二次根式的除法运算，分母有理化的方法是多种多样
8、的，应根据题目特点采用相应的方法，因此，分母的有理化因式不是唯一的，但以最简为宜。通过做题同学们一定会发现，对于运算量较大的分数型二次根式的运算，应先利用因式分解，再适当地约分，这样可降低运算难度，简化运算过程。就是说，分母有理化并不是化简分数型二次根式的唯一途径。（3）在二次根式的混合运算中，一般先将每一个二次根式化为最简二次根式，再按运算法则计算，运算的结果可能是二次根式，也可能是有理式，如果是二次根式，要化为最简二次根式。（答题时间：60分钟）一、选择题 *1. 下列各数：，其中与的被开方数相同的二次根式有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 2. 下列式子运算正确的是（ ）A
9、. 1 B. 4 C. D. 4 *3. 已知m1，n1，则代数式的值为（ ）A. 9B. 3C. 3D. 5 *4. 式子3x的值必为（ ）A. 正数B. 零C. 负数D. 不确定 *5. 若的整数部分为x，小数部分为y，则xy的值是（ ）A. 33B. C. 1D. 3 *6. 式子6的值（ ）A. 当x0时最大B. 当x0时最小C. 当x4时最大D. 当x4时最小二、填空题 7. 若最简二次根式与能合并成一项，则a_。 8. 一个三角形的三边长分别为cm，cm，cm，则它的周长为_cm。 *9. 与的关系是_。 *10. 已知m3，n3，则m2nmn2_。三、综合运用 11. 计算：（1
10、）2（3）；（2）（）（）；（3）（56）（）。 12. 在学习完二次根式的加减运算以后，叶苗给同桌的周娜出了这样一道题：给你长度分别为、的三根木棒，能否围成一个三角形呢？周娜说：“这太简单啦，我只需要比较与的大小即可。”你可以根据周娜同学的回答，判断一下这三根木棒能否围成一个三角形吗？ *13. 已知a，b，求a23abb214的平方根。 *14. 如果实数a、b、c满足a2b，且abc20，求的值。四、拓广探索*15. 阅读下面的解题过程：（）2（）2（）2（）2_。解：设x，y，则x2y210。原式（x22x5）（x22x5）（y22y5）（y22y5）2（x2y2）2040。（1）试用
11、上述方法，化简：（2）2（2）2（2）2（2）2；（2）由例题及（1）化简的结果，直接写出下列化简题的答案：（3）2（3）2（3）2（3）2_。一、选择题 1. A 解析：3与是同类二次根式。2. D3. C 解析：由m1，n1，得mn2，mn1，所以3。4. C 解析：原式（x）。因为有意义，必有x0，所以（x）0，即3x（x）0。5. C 解析：1，x1，y1。所以xy1（1）1。6. C 解析：x40，x4时，最小，而6值最大。二、填空题 7. 1 解析：因为2，所以a12，即a1。8. 379. 互为倒数 解析：（）（）1。10. 8 解析：由m3，n3得mn4，mn2，所以m2nmn
12、2mn（mn）8。三、综合运用 11. 解：（1）原式2（2152）66；（2）原式（）（22）2（）（）6；（3）原式（3）（）。 12. 解：2，3，4，2354，能围成一个三角形。 13. 解：a52，b52，ab10，ab1，a23abb214（ab）25ab14102511481。9，a23abb214的平方根是9。 14. 解：把a2b代入abc20，得b（2b）c20，2b2bc20，所以（b）22b（）2c20，得（b）2c20，b0，b，c0，a，原式。四、拓广探索 *15. 解：（1）设x，y。则原式（x2）2（x2）2（y2）2（y2）22（x2y2）2（2）22（2）296；（2）由以上两式，可得原式4（）2（）2（3）2144。第6页 版权所有 不得复制
