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1、海陵中学初三数学教学案 姓名 班级 第二十四章圆直线和圆的位置关系（第6课时）【目标导航】1使学生学会作三角形的内切圆，理解三角形内切圆的有关概念2掌握三角形的内心、外心的位置、数量特征，会求关于内心的一些角度的计算【要点梳理】探究：在一块三角形的纸片上，怎样才能剪下一个面积最大的圆呢？实际上它就是作图问题：例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切已知：ABC 求作：和ABC的三边都相切的圆分析：作圆的关键是确定 ，因为所求圆与ABC的三边都相切，所以 到 的距离相等，显然这个点既要在 的平分线上，又要在 的平分线上那它就应该是两条角平分线的交点，而交点到任何一边的垂线段长就是该圆的半径作法：
2、 答案：圆心和半径，圆心，三边，A，B；作法：分别作AB的平分线，交点为I，过点I作IDBC，垂足为E， 以点I为圆心，IE为半径，作I, 则I为所求作的圆l三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形2内心的位置：三角形的内心都在三角形的内部3内心是三角形三个角的平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等4多边形的内切圆、圆的外切多边形：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形 辨析：名称确定方法图形性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）到三个顶点的
3、距离相等；（2）外心不一定在三角形的内部内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB；（3）内心在三角形内部判断：（1）若O是ABC的内心，则BO平分ABC （ ）（2）若O是ABC的内心，BAC=100，则OAC=50 （ ）（3）若O是ABC的内心，OAC=40，则B+C=80 （ ）（4）三角形的内心不一定在三角形的内部 （ ）（5）多边形的内切圆圆心到各边的距离相等 （ ）（6）三角形有唯一的内切圆，圆有唯一的外切三角形 （ ）答案：（1）（2）（3）（4）（5）（6）例2 如图，在ABC中，ABC=50
4、，ACB=60，点O是内心，求BOC的度数操练一：如上图，在ABC中，点O是内心，BOC=130，则A = 操练二：如上图，在ABC中，点O是内心，则BOC= （用A表示） 操练三：在ABC中，ABC=60，ACB=40，若点O是内心，则BOC= 若点O是外心，则BOC= 答案：解：点O是ABC的内心，ABC=50，ACB=60，OBC=ABC=25，OCB=ACB=30，BOC=180-OBC -OCB=180-25-30=125操练一：80；操练二：90+A；操练三：130，160122GH例3 如图已知O是ABC内切圆，F、D、E是切点，A=70，求BOC和FDE度数解：记BOFD的交点
5、为G，CODE的交点为HBABC分别切O于点FDBF=BD，1=2，BODFOGD =90同理OHD=90A=70BOC=90+A=125FOE=360-OGD -OHD -BOC=55注：求FDE度数，也可连结FOEO，易解得FOE=180-A=110，FDE = FOE=55 例4 如图，已知I内切于ABC，切点分别为D、E、F，试说明（1）BIC90BAC；（2）ABC三边长分别为a、b、c，I的半径r，则有SABCr(abc)；（3）ABC中，若ACB90，ACb，BCa，ABc，求内切圆半径r的长（4）若ACB90，且BC3，AC4，AB5，ABC的内切圆圆心I与它的外接圆圆心的O距
6、离O证明：连结IAIBICIDIEIF，取AB边的中点O，连结IO. （1） 证明：点I为ABC的内心，ICB=BCA，IBC=CBA，BIC=180-ICB -IBC=180-BCA-CBA=180-(BCA+CBA)=180-(180-A)=90+A（2） SABC= SIBC +SIAC +SIBC=BCr+ACr+ A Br = r(BC+ AC +A B) = r(a+b +c)（3） SABC = r(a+b +c)ab= r(a+b +c)r=注：由于ABC为直角三角形，所以四边形CDIE为正方形，易解得r=，事实上，ABC为直角三角形，a2+b2=c2，（a+b）2-c2=2a
7、b，(a+b+c)(a+b-c)=2ab=（4） ABC的外心为斜边AB的中点O，连结IO.设BF=x，AF=y，CE=z，则BD=BF=x，AE= AF=y ，CD= CE=z，解得x=2，BF=2，FO=BO-BF=0.5，在RtIFO中IF=1FO=0.5IO=，即ABC的内切圆圆心I与它的外接圆圆心的O距离为例5 如图，已知O内切于ABC，切点分别为D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长解：设AF=x、BD=y、CE=z，则AE= AF=x、BF= BD=y、CD= CE=z，AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，解得：AF=4、BD
8、=5、CE=9【课后盘点】1三角形的内心是三角形 的交点，它到三角形 的距离相等答案：三条内角平分线的交点，三边2三角形的外心是三角形 的交点，它到三角形 的距离相等答案：三边中垂线的交点，三个顶点3在ABC中，ABC=50，ACB=70，若点O是内心，则BOC= 若点O是外心，则BOC= 答案：120，1204如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是_,外接圆半径是 答案：，5A=90，AB=8，AC=6，则ABC外接圆半径R= ，内切圆半径r= 答案：5，26RtABC中，C=90，AB=25，内切圆半径为4，则ABC周长= 答案：587ABC内切圆半径为r，ABC周长为l，则ABC面积=
9、答案：rl8如图，O内切RtABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是_ _答案：正方形(第4题) (第5题) (第6题)9如图，已知I是ABC内切圆，F、D、E是切点，DIE=100，DIF=120，则A= 答案：4010如图，ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若FDE68，求A的度数解：连结IFIE，则IFAB，IEAC，IFA=IEA=90A=360-IFA -IEA -FIE=180-2FDE=4011已知：如图，在ABC中，C=90，内切圆O与AB相切于点E，BO的延长线交AC于点D求证：BEBD=BOBC证明：连结EO点O是ABC的内心EBO=BD
10、O，OEB=90EBO=BDO，OEB=DCB=90EBOCBD=BEBD=BOBC1342512如图，点I是ABC的内心，AI的延长线交BC于点D，交ABC外接圆于点E求证：(1)IE=BE(2)IE2=EDEA证明：(1)连结IB点I是ABC的内心，1=3，2=5，2=5，4=5，2=4又1=3，1+2=3+4又1+2=BIE3+4=IBEBIE=IBEIE=BE(2) 2=4，E=EEBDEAB=BE2=EDEA又IE=BEIE2=EDEA 13ABC中，A:B:C=1:2:3，BC=4，设内切圆半径为r，外接圆半径为R，求以R、r为根的一元二次方程解：由题意知，A=30，B=60，C=
11、90，AB=2BC=8，AC=BC=4，R=AB=4，r=，以R、r为根的一元二次方程为x2-(2-2+4)x+4(2-2)=0，即x2-2(+1)x+8(-1)=014若斜边为13的RtABC两直角边分别为一元二次方程两根，求此直角三角形内切圆面积解：设方程的两根分别为x1，x2，则由题意知x12+x22=132，（x1+x2）2-2 x1x2=169（m-1）2-23(m+2)=169，解得：m1=10， m2=18，当m=10时，原方程即x2-9x+36=0，0，方程无解；当m=18时，原方程即x2-17x+60=0，解得：x1=5，x2=12，三角形两个直角边分别为5，12，内切圆的半径r=内切圆的面积=r2=415如图，已知O的外切四边形ABCD是直角梯形，ADBC，A=B=90（1）求证：OCOD；（2）若CD=4cm，BCD=60，求O的半径（1）证明：DADC均于O相切，1=2=ADC同理3=DCB1+3=ADC+DCB=(ADC+DCB)又ADBCADC+DCB=1801+3=90DOC=180-(1+3) =90
