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1、函数与导数的交汇题型分析及解题策略一2011年高考数学题型突破精讲专题六【命题特点】函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础，是高考数学中极为重要的内容，纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题，函数与导数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，分值26分左右，函数的解答题在文、理两卷中往往分别命制，这不仅是由教学内容要求的差异所决定的，也与文理科考生的思维水平差异有关。文科卷中函数和导数的解答题，其解析式只能选用多项式函数；而理科卷则可在指数函数、对数函数以及三角函数中选取。高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.其主要考点：（1）考查利用导数研
2、究函数的性质（单调性、极值与最值）；（2）考查原函数与导函数之间的关系；（3）考查利用导数与函数相结合的实际应用题.从题型及考查难度上来看主要有以下几个特点：以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值；与导数的几何意义相结合的函数综合题，利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值或极值，属于中档题；利用导数求实际应用问题中最值，为中档偏难题.复习建议：复习时，考生要“回归”课本，浓缩所学的知识，夯实基础，熟练掌握解题的通性、通法，提高解题速度。同时，许多高考试题在教材中都有原型，即由教材中的例题、习题引申变化而来。因此，考生必须利用好课本，夯实基础知识。【知识
3、基础与疑难】：1 1.导函数原函数可积可导连续存在原函数相互之间的关系11.可导与导函数可导是对定义域内的点而言的；处处可导则存在导函数，此外还函数可以在某处可导；只要一个函数在定义域内某一点不可导，那么就不存在导函数，即使该函数在其他各处均可导。可积与原函数对于不定积分：同济五版(上)给出的定义是：在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx在区间I上的不定积分.所以可积与存在原函数是等价的。对于定积分：同济五版对定积分可积有给出两个充分条件定理1设f(x)在区间a,b上连续，则f(x)在a,b上可积。(因为连续函数的原函数必存在！反之不成立。）定理2设f(x
4、)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在a,b上可积。函数在某个区间存在原函数，那么根据牛顿莱布尼兹公式，函数在这个区间存在定积分；函数在某个区间a,b存在定积分，则不能确定函数在这个区间上存在圆函数。可导与连续函数在某处可导那么一定在该处连续；函数在某处连续不一定在该处可导。连续与可积如果函数在某区域连续，那么函数在该区域可积；反之，如果函数在某个区域可积，不能保证函数在该区域连续。比如存在第一类间断点的函数不连续，但可积。2 原函数和导函数之间的关系。f(x)是F(x)的导函数以下有的关系小弟已经确定，但还有不确定的，不会证1.f(x)是奇函数，则F(x)是偶函数2.f(x)
5、是偶函数，F(x)不一定是奇函数3.f(x)是单调函数，F(x)不一定是单调函数4.f(x)是周期函数，F(x)不一定是周期函数5.f(x)是有界函数，F(x)_不一定是有界函数。.6.F(x)是奇函数，f(x)_是偶函数。.7.F(x)是偶函数，f(x)_是奇函数。.8.F(x)是单调函数，f(x)_不一定是单调函数。.9.F(x)是周期函数，f(x)_是周期函数。.10.F(x)是有界函数，f(x)_是有界函数。3 基本函数的导函数C=0(C为常数)(xn)=nx(n-1) (nQ)(sinx)=cosx(cosx)=-sinx(ex)=ex(ax)=(ax)*lnalog(a,x) =
6、1/(x*lna)lnx= 1/x 和差积商函数的导函数f(x) + g(x) = f(x) + g(x)f(x) - g(x) = f(x) - g(x)f(x)g(x) = f(x)g(x) + f(x)g(x)f(x)/g(x) = f(x)g(x) - f(x)g(x) / g(x)2 复合函数的导函数设 y=u(t) ，t=v(x)，则 y(x) = u(t)v(x) = uv(x) v(x)例 ：y = t2 ，t = sinx ，则y(x) = 2t cosx = 2sinxcosx = sin2x一般定义设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相
7、应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为. 设函数f(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是？A.lim(x趋近于0) f(a+2h)-f(a+h)/h存在 B.lim(x趋近于0) f(a+h)-f(a-h)/2h存在C.lim(x趋近于0) f(a)-f(a-h)/h存在答案是C ，AB为啥不对A.lim(x趋近于0) f(a+2h)-f(a+h)/h=f(a) 是充要条件B.lim(x趋近于0) f(a+h)-f(a-h)/2h=3f(a)/2函数可导的条件如果一个函数的定义域为全体实数，即函数
8、在R上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件（极限存在，它的左右极限存在且相等）推导而来【试题常见设计形式】函数和导数的内容在高考试卷中所占的比重较大，考查时有一定的综合性，并与数学思想方法紧密结合，对数学思想方法进行深入的考查，这种综合地统揽各种知识、方法和能力，在函数的考查中得到了充分的体现，函数与导数解答题在文、理两卷中往往分别命制，这既是由教学内容要求的差异所决定的，也与文、理科考生的思维水平差异有关，文科卷中的解答题，其解析式一般选用多项式函数；理
9、科卷则常在指数函数、对数函数以及三角函数中选取。高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.1利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；2考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解.【突破方法技巧】1讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响.2运用函数的性质解题时，注意数形结合，扬长避短.3对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑.如对二次项含参数的二次函数问题，应分a0和a0两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a时，需按a
10、1和0a1分两种情况讨论.4解答函数性质有关的综合问题时，注意等价转化思想的运用.5在理解极值概念时要注意以下几点：极值点是区间内部的点，不会是端点；若在（a，b）内有极值，那么在（a，b）绝不是单调函数；极大值与极小值没有必然的大小关系；一般的情况，当函数在a，b上连续且有有限个极值点时，函数在a，b内的极大值点和极小值点是交替出现的；导数为0的点是该点为极值点的必要条件，不是充分条件（对于可导函数而言）.而充分条件是导数值在极值点两侧异号.6求函数的最值可分为以下几步：求出可疑点，即0的解x0；用极值的方法确定极值；将（a，b）内的极值与，比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值；当在（a
11、，b）内只有一个可疑点时，若在这一点处有极大（小）值，则可以确定在该点处了取到最大（小）值.7利用求导方法讨论函数的单调性，要注意以下几方面：0是递增的充分条件而非必要条件（0亦是如此）；求单调区间时，首先要确定定义域；然后再根据0（或0）解出在定义域内相应的x的范围；在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其次运用求导的方法来证明.8函数、导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要注意：(1)综合运用所学的数学思想方法来分析解决问题；(2)及时地进行思维的转换，将问题等价转化；(3)不等式证明的方法多，应注意恰当运用，特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要利用导数这一工具来解决函
12、数的单调性与最值问题.【典型例题分析】考点一、利用导数求解函数的单调性问题若f(x)在某区间上可导，则由f(x)0(f(x)0)可推出f(x)为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f(x)x3在R上递增，而f(x)0.f(x)在区间D内单调递增(减)的充要条件是f(x0)0(0)，且f(x)在(a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型：(1)根据函数解析式，求函数的单调区间；(2)根据函数的单调性函数求解参数问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.【例1】2010课标全国、设函数。（）若，求的单调区间；（II）若当时，求的取
13、值范围于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为.【例2】2010北京、已知函数()=In(1+)-+(0)。()当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；()求()的单调区间。当时，得，.来源:学|科|网所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是【例3】2010天津、已知函数=xe-x（xR）.()求函数的单调区间和极值；()已知函数y=的图象与函数y=的图象关于直线x=1对称，证明当x1时，()如果且证明【解析】（）解：令=0,解得x=1则=，所以,从而.因为，所以，又由（）可知函数在区间（-，1）内事增函数，所以,即2.【例
14、4】2010山东已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.【解析】()原函数的定义域为（0，+，因为=，所以当时，（）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，即存在，使，即，即，所以，解得，即实数取值范围是。考点二、求函数的极值问题极值点的导数一定为0，但导数为0的点不一定是极值点，同时不可导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能在导数为0的点或不可导的点产生.利用导数求函数的极值主要题型：(1)根据函数解析式求极值；(2)根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解.【例5
15、】2010江西文17（本小题满分12分）设函数.（1）若的两个极值点为，且，求实数的值；（2）是否存在实数，使得是上的单调函数？若存在,求出的值；若不存在，说明理由.【解析】：（1）由已知有，从而，所以；（2）由，所以不存在实数，使得是上的单调函数.安徽文设函数，求函数的单调区间与极值.【例6】2010全国I文已知函数（I）当时，求的极值;（II）若在上是增函数，求的取值范围解：（）当时，在内单调减，在内单调增，在时，有极小值.所以是的极小值.【例7】2010北京文设定函数，且方程的两个根分别为1，4。（）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（）若在无极值点，求a的取值范围。解：由得因为的两个根分别为
