《3.4函数的极值.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.4函数的极值.doc（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 函数的极值教学目的：1 使学生理解函数极值的概念，掌握求函数极值的方法。 2使学生掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。教学重点：求函数的极值。教学过程：一、复习函数单调性判别法二、讲解新课： 一、函数的极值上节例3中，用X=0，和X=1两点将的定义域（-，+）分为三小区间（-，0），0，1，使用分别在这三个小区间上单增，单减，单增（见图），从图中不难看出，在X=0的一个较小范围内，在X=1点的最小区间都是虑的局部情况，而不是整体这就是将讨论的极值。定义：设函数在点X0的某邻域上有定义，若对有，（）定义：设函数在点X0处的得极大值（极小值）点X0称为极大点（极小点），极大值，极小值
2、统称为极值，极大点，极小点统称为极点。显然在上一讲 例3中，X=0，X=1均为极点，注：极大点，极小点未必统一。定理1：（极值的必要条件），若函数在点可导，且取得极值，则。注： 1、一般地，在处有，就称为的驻点或稳定点，上定理1即是可导函数的极点必为稳定点。2、定理1不是充分的即驻点未必是极点，及例：在=0处的情况。3、定理1只对可导函数而言，对导数不存在的点，函数也可能取及极值，例：=x，在x=0点的导数不存在，但取得极小值。4、证明可仿照Rolle 中值定理的证明，此处不证了。如何判别在x0点取得极值，有下二个定理：定理2（判别法1），设连续，在x0点连续，在x0的某一定心邻域内可导（）若
3、当x（x0 ，x0 ）时，f（x）0，当x（x0，x0 +）时，f（x）0，则f（x）在x0点取得极大值。（）若当x（x0 ，x0 ）时，f（x）0，当x（x0，x0 +）时，f（x）0，则f（x）在x0点取得极小值。定理3（判别法2）设f（x）在x0的某邻域内可导，且f（x0）=0，f（x0）存在（）若f（x0）0，则f（x）在x0点取得极大值。（）若f（x0）0，则f（x）在x0点取得极小值。（）若f（x0）=0，则此差别法2换效。证：（）f（x0）=lim f（x）- f（x0）/x- x0= lim f（x）/ x- x00故存在x0的某邻域U（x0 ，），当X（x0 ，）时，f（x）
4、/x- x0。即f（x）与x- x0反号，当x（x0 ，x0）时，f（x）0，当x（x0，x0+）时，f（x）0；由差别法1，f（x）在x0点取得极大值。（）反例1 f（x）=x2 在x=0点取得极小值。反例2 f（x）=x3 在x=0点取不到极值。例1上节例2 f（x）=3x-x3例2求f（x）=（x-2）2/3（2x+1）的极值解：由为驻点； 又 ，所以 所以在处取得极大值，且极大值为。又在处不可导，对充分小的当时，；当时，由判别法1知在处取得极小值，且极小值为f（2）=0，所以f（x）在x=1处取得极大值3，在x=2处取得极小值0。 二、函数的最大值与最小值现讨论求最大值，最小值的问题，
5、最大（小）值是一整体概念是指函数在定义域内取到的了最大数，最小数。与极大值，极小值不同。如果最大（小）值在定义域内部取得，则此最大（小）值必为极大（小）极，这时，最大（小）点必为导数不存在的点和驻点，另外最大（小）值还可能在定义域的端点上取得（若端点在定义域中的话）。由此，若f（x）在定义域上取到最大（小）值。现给出求f（x）在区间上的最大（小）值办法：（i）求出f（x）在上的所有驻点不可导点和端点。（ii）求出f（x）在这些点上的函数值，再进行比较：最大（小）者即为所求的最大（小）值。特别地，若f（x）在a，b上连续，可导，此时最大（小）值必在驻点和端点a、b中取得。例1求f（x）=x4-2
6、x2+3在区间-3，2上的最大值和最小值。解：因为f（x）在-3，2上连续，故最大值，最小值一定存在。又f（x）在-3，2内可导，即无不可导的点，下求驻点；令为驻点。而又在端点处f(-3)=66，f（2）=11经过比较，得知最大者为66，最小者为2，f（x）在-3，2上的最大值为66，最小值为2。思考题：f（x）=x4-2x2+3在 -3，2上是否存在最大，小值？为什么？例2求f（x）=x4-8x2在-1，1上的最值。解：f（x）在-1，1上连续，可导，最值存在，且在驻点和端点中取得。令f（x）=4x3-16x=4x（x2-4）=0得x1=0，x2=2，x3=-2，因为2，-2（-1，1）故去
7、掉，所以在-1，1中有一个驻点x=0，且f（0）=0。又在端点处，f（-1）=f（1）=-7，由比较得f（X）在-1，1上的最大值为0，最小值为-7。注：上例中，S=0为f（x）在-1，1上的唯一的驻点，不难验证f（x）在x=0处取得极大值（因为f（0）=-16），恰好，在x=0处f（x）上取得最大值，但这并非偶然，一般地有：性质：设f（x）在区间内可导，且只有一个驻点x0，且若f（x）在x0点取得极大（小）值，则f（x）必在x0点取得最大（小）值。例3在曲线y=1/x（x0）上取一点使之到原点的距离为最近解：曲线上任一点（x，y）则（0，0）点的距离为 即，而求x使s最小值可转化为求x使s2
8、=x2+1/x2最小，由题意知，这个最近距离是存在的，即函数的最小值存在。由 （舍去）所以当x0时，只有一个驻点x=1，且在x=1点。所以s2在x=1处取得极小值2，所以s在x=1处取得极小值。而这个极小值 即为S在区间（0，+）上的最小值。注：在实际问题中，若由题意得知最大值或最小值存在，且一定在所致虑的区间内部取得，此时，若在该区间内部只有一个驻点，那么不必再作讨论，就可断定f（x0）就是所求的最大值或最小者。 例4AB=100km，AC=20km且，选择点D，公路与铁路运费之比为3:5，使运费最省，D去何处？ 解：（）令y=0，得x=15（唯一驻点）且，三、课堂练习：1求函数的极值；2求函数的极值；解：令f(x)=0，驻点为x=0,x=1,x=-1。3求函数的极值。4. 求函数在1，3上的最大值、最小值；解：由例3知f(-1)=10，f(3)=-22，再求出f(-2)=3，f(4)=-15，比较可得出最大值与最小值。
