《完全四点形和完全四线形调和性质应用例析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完全四点形和完全四线形调和性质应用例析.doc（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、完全四点形和完全四线形调和性质应用例析作者： 何璇 摘 要本文对高等几何中的完全四点(线)形的调和性质进行了归纳整理，主要研究内容是通过运用完全四点形和完全四线形调和性质解决一些几何证明、几何作图、研究二次曲线的一些性质等几何问题，来体现高等几何的一些思想观点和方法。从而能够用现代几何学的观点处理初等几何问题,使解题更简洁，拓宽解题思路 ,提高解题能力。关键词：完全四点（线）形；调和性质；高等几何；初等几何AbstractThe paper gives a simple summary to harmonicity of complete quadrangle (complete quadri
2、lateral) in Higher Geometry. Its main research content is to figure out some problems including geometrical proving, geometrical drawing and researching the characters of the conics via the harmonicity of the complete quadrangle (complete quadrilateral), which incarnates some viewpoints and methods
3、in higher geometry. Accordingly, we can deal with the problems on elementary geometry by using views of modernistic geometry, which can simply solve problems, broaden train of thought and improve the capacity to solve problems.Key words: complete quadrangle (complete quadrilateral); harmonicity; Hig
4、her Geometry; Elementary Geometry1.前言射影几何对初等几何教学的指导，不仅表现在提高数学思想与观点上，还直接表现于对初等几何图形的射影性质的研究中(参见文911)。由射影几何、仿射几何和欧氏几何三者的关系，我们知道，欧氏几何为仿射几何及射影几何的子几何，在其中可以讨论仿射的对象（仿射不变性质和仿射不变量）和射影对象（射影不变性质与射影不变量），因而可以用射影几何去指导与研究初等几何中的一些问题。而完全四点形和完全四线形的调和性是射影几何的重要不变性，有关平面图形与二次曲线的许多重要概念和性质都与此密切相关。它们在射影几何中占有重要地位。不仅如此，它们在初等几何
5、中也有很广泛的应用(参见文810)。2.完全四点（线）形概念简述 完全四点形中有诸多的调和共轭线束和调和共轭点列,如图1,完全四点形中,为对边三点形,、为对边三点形各边与完全四点形各组对边的交点.则调和共轭线束是以、为中心的三组线束。即,。调和共轭点列在完全四点形的六条边、及对边三点形的三条边、上，共十二组调和共轭关系(参见文1)。根据完全四线形与完全四点形的对偶关系,仔细观察图1,可以发现,该图中蕴含着完全四线形,为完全四线形的对顶三线形,由对偶原则可知,在、三条边上各有一组调和共轭点列：,以九个顶点、为中心,各有一组调和共轭线束。正因为完全四点形与完全四线形可以通过一张图形体现,故而下面的
6、讨论可仅就完全四点形的点线进行。利用上述性质我们可以较为简单明了地解决许多初等几何的问题，以使得初几与高几的学习能够融会贯通，并从中体现高几对初几的指导作用。3.应用举例3.1几何作图问题3.1.1第四调和点的作法 我们知道，一直线上的点偶与成为调和共轭的充要条件是：“和是一个完全四点形的对边点，和是通过第三个对边点的一对对边与的交点”（参见文1）。为此，可通过完全四点形的作图来作第四调和点。利用完全四点形和完全四线形的调和性质在初等几何作图中的一些具体应用如下： 例1、已知、三点共线于，在直线上求作点关于、的调和共轭点，有以下几种方法。限于篇幅，只给出作法，具体作图过程及证明从略。利用完全四
7、点形和完全四线形的调和性质过点任作一直线，在其上任取异于的两点、，分别连接、；Q、交于点，连接、；、交于点，再连接、；、交于点，则点即为所求。利用“线段的中点与其所在直线上的无穷远点成调和共轭”过点任作一直线，在其上取两点、分别位于点的两侧，并且、到的距离相等。连与、与相交于点，过点作直线的平行线交、所在直线于点，则点即为所求（参见文2）。利用“角的内、外角平分线关于角的两边成调和共轭”过点任作一条不与垂直的直线，作线段的垂直平分线与直线相交于点，过不共线三点、作一圆，交直线于另一点，再作的外角平分线与、所在直线相交于，则点即为所求。利用二次曲线极点、极线的作图法过、两点任作一圆，作出点关于此
8、圆的极线，与、所在直线相交于，则点即为所求。利用调和共轭的初等几何作图（）以为直径作圆，过作的垂线交圆于，过作圆切线交于，则点为所求。3.1.2 初等几何作图利用完全四点(线)形的调和性质可以使我们由纯粹几何方法得到调和共轭点列或调和共轭线束，即仅用直尺可作出已知点列上的三点的第四调和点或已知线束中三直线的第四调和直线的方法，从而实现用高等几何方法方便简洁地解决欧氏平面作图问题，对初等几何作图有重要的指导意义。具体应用如下：例2、(1)已知线段及其中点，是直线外一点，求作：过点且平行于的直线。作法：如图2连结并延长，在其上取一点； 连结交于； 连结交于； 连结，则直线为所求作直线。(2)已知线
9、段，且平行，求作AB的中点。 作法：如图2在上任取两点； 连结交于； 连结交于； 连结交于，则为所求作的点。(3)已知是的内角平分线，求作其外角平分线。 作法：如图3 用不过的任一直线截分别于； 在上任取一点； 连结交于； 连结交于； 连结交于； 连结，它即为所求作的直线。(4)已知是的外角平分线，求作其内角平分线。 作法：如图3 用不过的任一直线截分别于 过任作一直线交分别于，； 连结交于； 连结，它即为所求作的直线。3.2几何证明问题3.2.1解决中点、平行问题 已知共线四点、, 如果按此顺序的交比, 那么就称、 关于、 成调和共轭, 或称、成调和点列。而线段的中点就是这直线上无穷远点关于
10、线段两端点的调和共轭点（参见文2）。 例3、已知、是共线五点，且，如果、两点调和分割线段，则是中点。 证明：因为、调和分割线段，故有：，即，把所有线段都以点作原点表达，得,乘出，移项，分解因子得：,把代入此式得：,整理之：（*）。假设，即，或，故有，所以：，与重合，此与、调和分割矛盾，故，从（*）式便知：，所以平分线段。 例4 四边形的对边与交于，与交于，直线平行于四边形的对角线，求证：另一对角线平分线段。（参见文4）证明：如图4所示，设平行线与交于，与交于，视四边形为完全四点形(或四线形)，则为完全四点形的对边三点形的一条边，易得，即故P为线段MN的中点，从而对角线平分线段。由此题的证明过程
11、不难证明其逆命题成立。逆命题：四边形的对边与交于，与交于，对角线平分线段，求证：直线平行于四边形的对角线。 由以上说明，这一类初等几何问题通过构造四边形，进而把问题转化为完全四点(线)形的问题，然后用其调和性极易得到解决。3.2.2线共点问题 例5、设、是完全四点形的三个对顶点，分别交、 于、，证明：、共点。证明：如图5，在完全四点形中，根据定理1.12的推论1(参见文2)知，边上的四个点、是一组调和点，即。又在完全四点形中，设与交于，交于，据定理1.12的推论1（参见文1）知，边上的四点、是一组调和点，即。由于,故,所以、共点。该问题是利用完全四点形调和性质解决三线共点问题，还可以解决诸如初
12、等几何中的证明三角形三中线共点，如：已知：中，分别为的中线，求证共点。3.2.3点共线问题 用初等几何方法证明“梯形两底中点，两条对角线交点，两腰（所在直线）交点这四点共线”不算太容易，而用射影几何的理论作指导来证明就很简单了。 例6、 已知:是梯形，、是两底、之中点，是对角线与之交点，是两腰、延长线之交点。(图6)，求证:四点、共线。 证明:(试想，只要设法证明与、之交点恰恰就是线段、之中点便可)连结，设直线交于，交于。以F为顶点的一组三角形有:，所以， (1)又以为顶点的一组三角形有：,所以， (2) （1）、（2）相乘得：,于是得：,代回（1）又得出：。所以，是之中点， 是之中点，但线段
13、中中点唯一，所以,即、四点共线。命题得证。 若以射影几何的理论作指导，此命题的证明就很简单了: (证法一):用二次曲线的极点与极线的理论作指导。(图7)把两直线与看作一条退化二阶曲线，则交点是奇异点。因梯形两底与平行，故设它们交于无穷远点，、既是线段、之中点，则、就是的共扼点，于是直线是点的极线，必然通过奇异点，所以、三点共线。 同样，又把直线与看作另一条退化二阶曲线，则交点为奇异点，是的极线，必然通过奇异点，所以、三点共线。于是四点、共线。 (证法二):用完全四线形的调和性质作指导。(图7)设交于、交于，今证、是、之中点。事实上，在由四直线、构成的一个完全四线形中，、，是它的三条对顶线。由四
14、线形的调和性质有:,但,所以是无穷远点，而无穷远点的调和共扼点是线段中点，所以、是线段、之中点，命题得证。 高等几何中的射影几何是专门研究射影命题(即，只与点线接合性有关的几何命题)的，它有其自身的一整套理论系统和方法，得出了一大批只与点线接合性有关的很好的结论。而初等几何中证明点共线、线共点的间题却是一个难点，因此，初等几何中涉及点共线、线共点的一些命题，若用高等几何作指导，证明可来得较为简单和方便。这也就是为什么师范数学系学生(未来的初中数学教师)为什么要把高等几何作为必修的专业课的理由之一。 例7、已知如图8，、为三角形三边上的点，；连接、并延长分别交、于、，连接交、于、，为中点。求证：、三点共线。证明：由Menelaus定理可知，要证、共线，即证 (*) (参见文4)将、看作完全四点形的四个顶点，可知，即,也即, 又因，故，可见，（*）式成立，所以、三点共线。 由该题可得出完全四点形调和性质的一个结论：完全四点形六条边中的三条边(不通过同一顶点的且分属三组对边中的一条)与对边三点形三边所得的交点共线。(参见文5)3.2.4平分角度问题例8、 在四边形中对角线平分。在上取一点，与相交于，延长交于，求证。（参见文6）证明：
