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1、三角形内角关系应用举例熊明军三角形是平面几何中很常见的图形，一个三角形包含三个边及三个内角两类六要素。因此，从这两类要素出发，我们可以对三角形进行下列情况的研究：三角形边的关系、三角形内角的关系及三角形边与内角的关系。在数学中，这是很大一块儿内容，从小学到初中再到高中，无论在几何中，还是在代数中，我们都没有停止过对这些内容的学习，并且随着新的数学工具与方法的引入在逐渐加深，显现她永不暗淡的智慧亮点。由于水平有限，本文只针对三角形中三个内角的一些关系，结合具体题目谈一些方法，抛砖引玉。更加深入全面的研究，则需要各位读者去探索、去寻找。一、 任意中，（三角形内角和定理）这是我们很早就知道的三角形三
2、个内角的关系，但凡遇到有关三角形的问题，这个关系都是必须要首先考虑的内容。由它还可以引出下面几个常用的三角形三内角的关系：任意三角形的三内角满足等式；任意三角形的三内角范围是；等边三角形的三内角都相等，且；任意三角形的最大内角范围是。（证明如下）【证明】设三内角为，且是最大内角，显然，则可推断：因为，所以。二、 任意中，【例题】三内角的对边分别为，条件“”是使“”成立的_条件（充分不必要、必要不充分、充要）。【解析】根据大边对大角原则，由边的大小关系得出角的大小关系，然后利用余弦函数的单调性证明。（充分性），在中三个内角的范围是，余弦函数时是一个减函数，所以。（必要性）在中三个内角的范围是，余
3、弦函数时是一个减函数，所以。【例题】三内角的对边分别为，。若的最短边长为，求该三角形的最长边长。【解析】由角的大小关系可得出边的大小关系，但从所给函数值来看，本题中三角形内角是不容易求出的非特殊角，如此，我们就通过内角的函数值来确定边的大小关系，然后求解。在中三个内角的范围是，由，知，都是锐角。由于不是特殊角，要确定边的大小关系，必须知道内角函数值的大小关系，则由得，；由得，；又，所以。因为所以。因此可知最短边为，最长边为；由正弦定理。三、 任意中，【例题】在中，求。【解析】由所给内角的函数值无法确定角的范围，便无法确定的取值。解法一：首先求出的值，然后判断的符号，若能够成一个三角形（是的三内
4、角）。解法二：在中，必定存在，要求，显然。由或；由。首先是对是否有解情况的判断：.当，时，有解；.当，时，无解（舍掉）；然后利用，当，时得。四、 任意中，这个关系其实就是三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边结合正弦定理得到的。【证明】设三内角的对边分别为，显然有。由正弦定理可得。五、 在中，【例题】在不等边中三内角的对边分别为，且是最大边，如果，求的取值范围。【解析】在中，最大内角的范围是，在此基础上结合条件便可轻易断定。因为是最大边，所以可以知道的最大内角为，显然，；又是锐角。综上所述，可以断定。六、 在锐角中，【例题】锐角的三个内角分别记为，已知向量，向量，试证明与夹角为锐角。【解析】要证明与夹角为锐角，只需证明，即。由是锐角三角形得显然，则与夹角为锐角。第 1 页 共 1 页
