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1、谈泰勒公式与泰勒级数的复习泰勒公式与泰勒级数是教学的一个难点，也是新数学考研大纲的重点之一。本文将对泰勒公式与泰勒级数在新大纲中可能的出题类型进行归纳总结。一 泰勒公式定理1 设函数在的某邻域内有直到阶的导数，则对该邻域内的任一，有 （1）其中（1）式称为函数在点处带有皮亚诺余项的泰勒公式.公式（1）中，则 （2）称（2）式为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式.定理2 设函数在点的某邻域内有直到阶的导数，则对该邻域内的任一，有 （3）其中 ，介于与之间。（3）式称为函数在点处带有拉格朗日型余项的泰勒公式.公式（3）中，则 （4），介于0与之间 称（4）式为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式.学习泰勒
2、公式时应注意：1、点的某个邻域可以是含有点的某个有限区间或无限区间.2、当很小时，误差为.3、泰勒定理（定理1、定理2）也是微分中值定理，它与罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西定理之间的关系是： 特殊形式 一般形式 推广形式特例罗尔定理拉格朗日中值定理柯西定理泰勒定理麦克劳林公式二 泰勒公式的应用1、用泰勒公式计算极限；2、用泰勒公式求函数的高阶导数；3、用泰勒公式证明不等式；4、用泰勒公式讨论方程根的存在性；5、用泰勒公式讨论函数的极值、曲线的拐点等。其中利用泰勒公式求极限是考研的重中之重。使用泰勒公式时特别要注意：泰勒公式的余项常用的有两类.它们本质相同但作用不同，一般来说不需要定量讨论的可
3、用皮亚诺余项的公式，需要定量讨论时，要用带拉格朗日型余项的公式.例1 求 解：利用泰勒公式 由此， = = = 例2 设具有连续的二阶导数，且，试求：及.解：1）由于，则 于是， （5）所以，由上式知，于是，.根据的连续性可知，.而故，.再由在点处的二阶泰勒公式（带皮亚诺余项）可知，即 .将代入（5）式，得 故，.2）因 故，.注意：正确使用泰勒公式求出是解题的关键，此题为基础加强题，它重点考查连续的概念、导数的概念、泰勒公式的应用和用连续性求极限的方法.例3 设在闭区间上具有三阶连续导数，证明：存在实数，使得.分析：由于具有三阶连续导数，而且讨论方程根的存在性，可以考虑应用泰勒公式.证明:利
4、用泰勒公式 且介于与之间，则 从而，.又因为在上连续，因此在上必取最大值，最小值.于是，.由连续函数的介值定理，存在，使得 故，.例4 设函数在闭区间上具有二阶导数，且，则在区间内至少存在一点，使.解：考虑到，由泰勒公式，有，且介于与之间，且介于与之间即 将代入上两式 （6） （7）（7）式（6）式，得从而，令故， ，。即， 。注意：解题的关键是找出函数值的差与二阶导数之间的关系，它们之间关系的桥梁是泰勒公式.例5 若在点的某邻域内有直到阶的导数，且，而，试证：（1）当为偶数时，为的极值点，且 当时，为的极小值点； 当时，为的极大值点；（2）当为奇数时，不是的极值点，但为曲线的拐点.分析：由题
5、设条件，利用泰勒公式，得（1）当为偶数时， 当时，为极小值，故，为的极小值点； 当时，为极大值，故，为的极大值点；（2）当为奇数时， 若，当时，；当时，则 非极值，不是的极值点；同理，若，不是的极值点. 由条件知，.又由 若，当时，；当时，故，为曲线的拐点.同理，若，也是曲线的拐点.三 函数幂级数展开幂级数的展开与求和是考研的重中之重。幂级数展开法：1、直接展开法：由公式（3）可知，当在点的某邻域内具有任意阶导数且在该邻域内有，则 当时，（3）式在该邻域内就转化为，此级数就是在点的泰勒级数。可见若在点的某阶导数不存在或虽然各阶导数皆存在，但，则在点无法展成泰勒级数。特别对有相应的结论。由于直接
6、展开法必须求出函数的各阶导数，并且还要判断是否为零，此法难度较大，一般不用。2、间接展开法：由展开式的惟一性，对或利用标准展开式，采用代入法、利用幂级数的运算法则、幂级数的分析性质（逐项微分、逐项积分）等方法，可将函数展成幂级数。掌握将函数展成幂级数的方法，对表示函数、研究函数的性质、计算函数的积分都有帮助.考生在复习时，须要熟记下列标准展开式：1），2） 3） 4） 5） 6） 收敛域随不同而异，但在内永远成立.例6 将展成的幂级数.解：因而 所以， 例7 将函数展成的幂级数。解 因 所以，四 幂级数的应用（一）求函数的高阶导数例8 求函数在点处的100阶导数.分析：函数的幂级数展开式是唯一
7、的，它就是函数的麦克劳林级数，而麦克劳林级数的系数与在点的高阶导数有关，利用这个关系，通过幂级数的展开式可求出.解：因 而展开式中项的系数为,所以，.（二）求和函数例9 求的和.分析：若令，则，可考虑利用幂级数的和函数求常数项级数的和。解 1）对幂级数因为 ，所以，当时，幂级数收敛；当时，幂级数发散，且当时，收敛。 故，幂级数的收敛域为.2）令（*） ， 则 ，积分，由，得故 取，得 顺便，由（*）有 例10 求幂级数2+的收敛域及和函数。解：（1）先求幂级数的收敛域 幂级数缺项 所以，收敛域为。（2）令 ，则故，幂级数的和函数满足方程且。（3）求方程满足条件的特解与所给方程对应的齐次方程为 它的特征方程 有两个实根 于是，对应齐次方程的通解为 ，由于不是方程的特征根，所以设特解为，将其代入所给方程，得 即。于是，求得一个特解为 。故，所给方程的通解为 将代入通解，得，于是，所求特解为故，2+=，。来源：求学考研1
