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1、 依据数的大小位置快速制作三阶幻方 王凯成(陕西省小学教师培训中心 710600) 笔者在文1指出宋代数学家和数学教育家杨辉制作三阶幻方（即九宫图）的方法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”有很大的局限性，对用1、3、4、5、6、7、8、9、11制作一个三阶幻方就不适用，笔者提出了能引发学生思考的“制作三阶幻方的通法”：1.求幻和：(1+3+4+5+6+7+8+9+11)3=18；2.拆幻和：18=11+1+6=11+3+4=9+1+8=9+3+6=9+4+5=8+3+7=8+4+6=7+6+5；3.统计：所给数1345678911出现次数2332423324.填幻方：首先确定最中间数
2、(统计中出现4次的数)，其次确定四角数(统计中出现3次的数)，最后填出三阶幻方.9185674113698643 (确定中间数) (确定四角数) (三阶幻方)实际上，根据数的大小位置，也能快速制作出三阶幻方.定理1：设数方阵1是一个三阶幻方，则幻和H=3. 即幻和是三阶幻方最中间数的3倍. 证明略. (数方阵1) (数方阵2) 定理2：设，如果用能制作一个三阶幻方(数方阵1)，.那么：(1). 三阶幻方的最中间数. 即构成三阶幻方的9个数，从小到大排列的中位数即第5个数必是三阶幻方的最中间数，幻和是它的3倍.(2). (3). 最大的数不在对角线的两端上.(4). 第二大的数在对角线的两端上.
3、依次证明(1)、(2)、(3)、（4）.证明： 如果. 设=，则幻和H=3.由三阶幻方知：第二行、第二列、左斜行、右斜行上两端两数之和为2. 把第二行、第二列、左斜行、右斜行上两端两数各看作一个抽屉，再把这5个数放到上述4个抽屉中，必有一个抽屉有中的两个数，这两个数的和小于22. 矛盾！所以.如果，设=，则幻和H=3.由三阶幻方知：第二行、第二列、左斜行、右斜行上两端两数之和为2. 把第二行、第二列、左斜行、右斜行上两端两数各看作一个抽屉，再把这5个数放到上述4个抽屉中,必有一个抽屉有中的两个数,这两个数的和大于22. 矛盾！所以.由及知：若，由构成三阶幻方，必有.定理2的(1)得证. 由是三
4、阶幻方的最中间数知：第二行、第二列、左斜行、右斜行上三数之和为H=3且H= = = = .其中.以下用反证法证明.假设，即有，那么必有一个是，不妨设是，这样H =，但由及有：H =H，矛盾！所以必有. 同理依次可证：，.所以有：H = = = = .定理2的(2)得证.以下用反证法证明最大的数不在对角线的两端上.假设在对角线的两端的某端点，不妨设在左斜对角线的上端，如数方阵2所示.由及知，所以，不能取，只能取这三个数，这与=H中是四个数不相符，故知不在对角线的两端上. 只能在第2行或第2列的两端.定理2的(3)得证.以下直接构造证明第二大的数在对角线的两端上.不妨设在左斜对角线的上端，由于不在
5、对角线的两端上，设在第2列，又由=H知，不能再同一行和同一列，只能在第2列的下端，在第2列的上端. 如数方阵3所示. (数方阵3) (数方阵4) (数方阵5) 由此可以推出=H. 由及+知，且. 这样只有=或=.如果=，由=H知，在第三行第一列. 再由=H知，第二行第一列只能填. 那么第二行第三列填. 构成的三阶幻方如数方阵4所示.如果=，可推出三阶幻方如数方阵5所示.定理2的(4)通过构造得证.由定理1及定理2可知：三阶幻方由所给9个数从小到大排列的“中位数”、“最大数”、“最小数”、“第二大数”、“第二小数”这5个数确定(见数方阵6)，其中“最大数”“最小数”=“第二大数”“第二小数”=“
6、中位数”2. 所以把“最大数”用“中位数”2“最小数”替换，把“第二大数”用“中位数”2“第二小数”替换， 构成数方阵7. 所以根据定理1、定理2及所给9个数从小到大排列的位置关系就能快速制作出三阶幻方，就是由数方阵7确定的三阶幻方-数方阵8. 由此可见：组成三阶幻方的9个数必须满足数方阵8所示各数之间的内在关系.“中位数”2“第二小数”最小数 中位数“中位数”2“最小数”第二小数 (数方阵6) （数方阵7） (数方阵8)由数方阵8可见，三阶幻方由所给9个数的最小数、第二小数、中位数这3个数唯一确定.把数方阵8中的“最小数”换成“最大数”，“第二小数”换成“第二大数”，仍然是三阶幻方. 可见,
7、三阶幻方也可由所给9个数的最大数、第二大数、中位数这3个数唯一确定.可以推出：当“最小数”2 +“中位数” “第二小数”3时, “杨辉方法”制作三阶幻方有效(见数方阵4)；当“最小数”2 +“中位数”“第二小数”3时, “杨辉方法”制作三阶幻方失效(见数方阵5). 结论: 三阶幻方九宫数，一行中间最小(大)数，二行中央中位数，三行最右二小(大)数，幻和中位三倍数，由此推出空格数.例1 用1、3、4、5、6、7、8、9、11制作一个三阶幻方.解：由于6是从小到大的中位数，所以6填在三阶幻方中央即第二行第二列，三阶幻方的幻和为63=18.最小的数是1，1填在第一行的中间位置. 第二小数是3, 3填
8、在幻方的右下角即第三行第三列. 如图数方阵9所示.然后可以计算出第一行第一列的数为623=9， 第一行第三列的数为1891=8， 第三行第一列的数是628=4.其它各数随之可以确定. 数方阵10就是三阶幻方.1 6 3 (数方阵9) (数方阵10) 例2 用4、3、2、1、0、1、2、3、4制作一个三阶幻方(见人教版初中数学教材七年级上册第20、21页).解：由于0是从小到大的中位数，所以0填在三阶幻方中央，三阶幻方的幻和为03=0.最小的数是(4)，所以(4)填在第一行第二列. 第二小数是(3), (3)填在幻方的右下角. 如图数方阵11所示.然后可以计算出第一行第一列的数为02(3)=3，第一行第三列的数为03(4)=1，第三行第一列的数是021=1. 其它各数随之可以确定. 数方阵12就是三阶幻方. 34 12 0 21 43 4 0 3(数方阵11) (数方阵12)参考文献1.王凯成，制作三阶幻方的通法，中学数学教学参考J，2005年第4期P25.2.高治源，九宫图探秘，香港天马图书有限公司M，2004年1月第1版.本文发表在全国中文核心期刊中学数学教学参考初中版2014年第5期P67-68.
