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1、五、回溯法 回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。当发现当前候选解不可能是解时 就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选 解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。扩大当前候 选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的问题P,通常要能表达为：对于已知的由n元组(xl, x2,，xn)组成的一个状态空间E= (xl, x2,，
2、xn)| xiSi , i=l, 2,， n,给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D,要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中Si是分量xi的定义域，且ISil有限，i=1, 2,， n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一 n元组为问题P的一个解。解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。但显然，其计算量 是相当大的。我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组(xl, x2, xi)满足D中仅涉及到xl, x2, xi的所有约束意味着j (jj。因此，对于约束集D具有完备性的问题P, 旦检测断
3、定某个j元组(xl, x2, xj)违反D中仅涉及xl, x2, xj的一个约束，就可以肯定，以(xl, x2,，xj)为前缀的任何n元组(xl, x2,，xj, xj+l, xn)都不会是问题P的解，因而就不必 去搜索它们、检测它们。回溯法正是针对这类问题,利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T,把在E中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。树T类 似于检索树,它可以这样构造：设Si中的元素可排成xi(l) , xi(2),，xi(mi-l) , ISil =mi, i=l, 2, n。从根开始，
4、让T的第I层的每一个结点都有mi个儿子。这mi个儿子到 它们的双亲的边，按从左到右的次序，分别带权xi+l(l) , xi+l，xi+l(mi) , i=0, l, 2, n-l。照这种构造方式，E中的一个n元组(xl, x2, xn)对应于T中的一个叶子结点，T的根到这个叶子结点的路径上依次的n条边的权分别为xl, x2, xn,反之亦然。另外，对于任意的0 WiWn-l, E中n元组(xl, x2, xn)的一个前缀I元组(xl, x2, xi)对应于T中的一个非叶子结点，T的根到这个非叶子结点的路径上依次 的I条边的权分别为xl, x2, xi,反之亦然。特别，E中的任意一个n元组的空前
5、缀()，对应于T的根。因而，在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索一个叶子结点，要求从T的根到该叶子结点的路径上依次的n条边相应带的n个权xl, x2, xn满足约束集D的全部约束。在T中搜索所要求的叶子结点，很自然的一种方式是从根出发，按深度优先的策略逐步深入，即依次搜索满足约束条件的前缀1元组（xli）、前缀2元组（xl, x2）、，前缀I元组（xl, x2,，xi）,，直到i=n为止。在回溯法中，上述引入的树被称为问题P的状态空间树；树T上任意一个结点被称为问题P的状态结点；树T上的任意一个叶子结点被称为问题P的一 个解状态结点；树T上满足约束集D的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题
6、P的一个回答状态结点，它对应于问题P的一个解。【问题】 组合问题问题描述：找出从自然数1、2、n中任取r个数的所有组合。例如 n=5， r=3 的所有组合为：1) 1、 2、 3( 2)1、 2、 4( 3)1、 2、 54) 1、 3、 4( 5)1、 3、 5( 6 )1、 4、 57) 2、 3、 4( 8 )2、 3、 5( 9 )2、 4、 510) 3、 4、 5则该问题的状态空间为：E= （xl，x2，x3）| xiuS，i=1，2，3 其中：S=1, 2，3，4，5约束集为： x1x2ai，后一个数字比前一个大；（2）ai-i=n-r+1。按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下：
7、首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1）， 候选组合改为 1， 2。继续这一过程，得到候选组合 1， 2， 3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一个解。在该解的基础上，选下一个 候选解，因a2上的3调整为4,以及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1，2, 4和1, 2, 5。由于对5不能再作调整，就要从a2回溯到a1， 这时，a1=2,可以调整为3,并向前试探，得到解1，3, 4。重复上述向前试探和向后回溯，直至要从a0再回溯时，说明已经找完问题的全部解。按 上述思想写成程序如下
8、：【程序】*从n个不同元素中取出m个元素构成的所有组合。*按照字典序从小到大输出所有组合。#include # define MAXN 100 intaMAXN;void comb(int m, int r) int i, j;i = 0;ai = 1；doif (ai - i = m - r +1) if (i = r -1) for (j = 0; j r; j+)printf(%d%c, aj,(j=r-l) ?、n :); ai+;continue;i+；ai=ai-l+l; else if (i = 0)return;a-i+; while (1);int main() int n,
9、m;scanf(%d %d, &n,&m);comb(n, m); return 0;【问题】 填字游戏问题描述：在3X3个方格的方阵中要填入数字1到N (N210)内的某9个数字，每个方格填一个整数，似的所有相邻两个方格内的两个整数之和为质 数。试求出所有满足这个要求的各种数字填法。可用试探发找到问题的解，即从第一个方格开始，为当前方格寻找一个合理的整数填入，并在当前位置正确填入后，为下一方格寻找可填入的合理整数 如不能为当前方格找到一个合理的可填证书，就要回退到前一方格，调整前一方格的填入数。当第九个方格也填入合理的整数后，就找到了一个解，将 该解输出，并调整第九个的填入的整数，寻找下一个
10、解。为找到一个满足要求的 9 个数的填法，从还未填一个数开始，按某种顺序(如从小到大的顺序)每次在当前位置填入一个整数，然后检查当前填入的整 数是否能满足要求。在满足要求的情况下，继续用同样的方法为下一方格填入整数。如果最近填入的整数不能满足要求，就改变填入的整数。如对当前 方格试尽所有可能的整数，都不能满足要求，就得回退到前一方格，并调整前一方格填入的整数。如此重复执行扩展、检查或调整、检查，直到找到一 个满足问题要求的解，将解输出。回溯法找一个解的算法： int m=0,ok=1;int n=8;doif (ok) 扩展;else 调整;Ok=检查前m个整数填放的合理性； while (!ok|m!=n)&(m!=0)if (m!=0) 输出解；else 输出无解报告；如果程序要找全部解，则在将找到的解输出后，应继续调整最后位置上填放的整数，试图去找下一个解。相应的算法如下： 回溯法找全部解的算法： int m=0,ok=1；int n=8；doif (ok) if (m=n) 输出解；调整；else 扩展；else 调整；ok=检查前m个整数填放的合理性； while (m!=0)；个被检验的为了确保程序能够终止，调整时必须保证曾被放弃过的填数序列不会再次实验，即要求按某种有许模型生成填数序列。给解的候选者设定顺序，按这个顺序逐一形成候选者并检验。从小
