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1、第一章 随机变量习题一 系 班姓名 学号 1、写出下列随机试验的样本空间(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 = (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 = (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 =(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 = (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 = 其中分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽
2、取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U =解: ( 1 ) U = e3 ， e4 ， e10 。其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 、 10 ( 2 ) U = e3 ， e4 ， 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系(1)与 互不相容 (2)与 对立事件(3)与 互不相容 (4)与 相容事件(5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容(6)20个产品全是合格品与20个产品
3、中至少有一个废品 对立事件 解: 互不相容:;对立事件 : 且3、设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件(1)A发生，B与C不发生 - (2)A与B都发生，而C不发生 - (3)A,B,C中至少有一个发生 - (4)A,B,C都发生 -(5)A,B,C都不发生 - (6)A,B,C中不多于一个发生 -(7)A,B,C中不多于两个发生-(8)A,B,C中至少有两个发生-4、盒内装有10个球，分别编有1- 10的号码，现从中任取一球，设事件A表示“取到的球的号码为偶数”，事件B表示“取到的球的号码为奇数”，事件C表示“取到的球的号码小于5”，试说明下列运算分别表示什么事件.(1
4、) 必然事件 (2) 不可能事件(3) 取到的球的号码不小于5 (4) 1或2或3或4或6或8或10(5) 2或4 (6) 5或7或9(7) 6或8或10 (8) 2或4或5或6或7或8或9或105、指出下列命题中哪些成立，哪些不成立.(1)成立(2) 不成立(3)不成立(4) 成立(5)若，则成立(6)若，且，则 成立(7)若，则成立(8)若，则 成立7、设一个工人生产了四个零件，表示事件“他生产的第i个零件是正品”，用,的运算关系表达下列事件.(1)没有一个产品是次品； (1) (2)至少有一个产品是次品；(2) (3)只有一个产品是次品；(3) (4)至少有三个产品不是次品4)8. 设
5、E、F、G是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式 ： (1)(2) （3） 解 :(1) 原式 (2) 原式 (3) 原式 9、设是两事件且，问(1)在什么条件下取到最大 值，最大值是多少？(2)在什么条件下取到最小值，最小值是多少？解: (1)(2)10. 设 事 件 A， B， C 分 别 表 示 开 关 a， b， c 闭 合 ， D 表 示 灯 亮 ， 则可用事件A，B，C 表示：(1) D = ；(2) = 。 11、设A,B,C是三事件，且， 求A,B,C至少有一个发生的概率.解: 12. (1)设事件A , B的概率分别为 与 ，且 A 与 B 互 斥，则 = . (2
6、).一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球 ，如果随机地无放回地摸3只球 ，则取到的3 只 都 是 红 球 的 事 件 的 概 率 等 于 _。 (3) 一 袋中有4只白球，2只黑球，另一只袋中有3只白球和5只黑球，如果 从每只袋中各摸一只球 ，则摸到的一只是白球，一只是黑球的事件的概 率 等于 _。 (4) .设 A1 , A2 , A3 是随机试验E的三个相互独立的事件， 已知P(A1) = a , P(A2) = b，P(A3) = g ，则A1 , A2 , A3 至少有一个 发生的概率是 1(1a)(1 b)(1g) . (5) 一个盒中有8只红球，3只白球，9只蓝球，如果随机地无放
7、回地摸3只球， 则摸到的没有一只是白球的事件的概率等于 _。13、在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个，求(1)恰有90个次品的概率；(2)至少有2个次品的概率. 解: 14、两射手同时射击同一目标，甲击中的概率为0.9，乙击中的概率为0.8，两射手同时击中的概率为0.72，二人各击中一枪，只要有一人击中即认为“中”的， 求“中”的概率.解:“甲中”“乙中”15、8封信随机地投入8个信箱(有的信箱可能没有信)，问每个信箱恰有一封信的概 率是多少？ 解: 16、房间里有4个人，问至少有两个人的生日在同一个月的概率是多少？解：设所求事件“至少有两个人的生日在同一个月的”“
8、任何两个人的生日都不在同一个月”17、将3个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概 率各是多少？解：3个球放入4个杯子中去共有种放法，设表示杯子中球的最大个数为n的事件,表示每只杯子最多只能放一个球，共有种方法，故;表示有一只杯子中放2个球，先在3个球中任取2只放入4个杯子中的任意一只，共有种方法，剩下的一个球可以放入剩下的3只杯子中的任一只，有3种放法，故包含的基本事件数为，于是 ;表示有一只杯子中放3个球，共有4种方法，故.18. 设 一 个 质 点 等 可 能 地 落 在 xoy 平 面 上 的 三 角 形 域 D 内 ( 其 中 D 是 x = 0 ，y =
9、 0 ， x + y = 2所 围 成 的 ) ， 设 事 件 A 为： 质 点 落 在 直 线 y = 1 的 下 侧 ， 求 P(A) 。 19、(1)已知，求(2)已知，求 解: (1)(2)20、一批产品共100个,其中有次品5个，每次从中任取一个，取后不放回, 设( i =1，2，3，)表示第i次抽到的是次品，求： ， ， ， ，21、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂的合格率是80%。若用事件、分别表示甲、乙两厂产品，B表示合格品。 试写出有关事件的概率. (1) 70%(2) 30% (3) 95%(4) 80% (5) 5% (6
10、) 20%22、袋中有10个球，9个是白球，1个是红球，10个人依次从袋中各取一球，每人取一球后，不再放回袋中，问第一人，第二人，最后一人取得红球的概率各是多少？解: 解：设第i个人取得红球的事件,则为第i个人取得白球的事件，显然 , 同理23、某种动物由出生活到20年以上的概率为0.8，活25年以上的概率为0.4，问现 年20岁的这种动物活支25岁以上的概率是多少？ 解：设为由出生活到20岁的事件，为由出生活到25岁的事件则所求事件的概率为24、十个考签中四个难的，三人参加抽签，(不放回)甲先、乙次、丙最后，记事件 A,B,C分别表示甲、乙、丙各抽到难签，求.解：25. 设 0 P(C) 1
11、 ，试 证 ：对 于 两 个 互 不 相 容 的 事 件 A，B，恒 有 P ( A B )C = PAC + PBC证: 26、设事件A与B互斥，且，证明.证明：由于，故27、一批零件为100个，次品率为10%，每次从中任取一个，不再放回，求第三次才 能取得正品的概率是多少？解：设为第i次取到正品，由于次品率为10%，故100个零件约有90个正品，次品10个，设为第三次抽到正品，即第一次第二次都取得次品，第三次才取得正品，则由一般乘法公式得28、设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000 个男人和 2000个女人中任意抽查一人， 求 这 个 人 是 色
12、 盲 者 的 概 率。解: A ：“ 抽到的一人为男人”；B ： “ 抽到的一人为色盲者” 则 29、设有甲、乙两袋，甲袋装有n只白球，m只红球；乙袋中装有N只白球，M只红球，今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？ 解：设表示从甲袋中任取一只白球放入乙袋中的事件，表示从甲袋中任取一只红球放入乙袋中的事件，表示从甲袋中任取一只球放入乙袋后再从乙袋中取一只白球的事件，所求事件由全概率公式：易知：于是30、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产品占全厂产品的比例 分别为25%,35%,40%；并且它们的废品率分别是5%,4%,2% (1)今从该厂
13、产品中任取一件问是废品的概率是多少？ (2)如果已知取出的一件产品是废品，问它最大可能是哪个车间生产的？解：设“所取出的一件产品是废品”，“产品系甲车间生产”，“产品系乙车间生产”， “产品系丙车间生产”已知(1)由全概率公式：(2)由贝叶斯公式：所以，所取出的一件废品最大可能是乙车间生产的.31、如图1,2,3,4,5表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为，且设 各继电器接点闭合与否相互独立，求至是通路的概率.13245LR解: 设为第i只继电器闭合的事件，为有电流从L流向R的事件，已知显然故 32、在18盒同类电子元件中有5盒是甲厂生产的，7 盒是乙厂生产的，4盒是丙厂生产的，其余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率依次为0.8，0.7，0.6， 0.5 ， 现任意从某一盒中任取一个元件，经测试发现是不合格品， 试问该盒产品属于 哪一个厂生产的可能性最大 ？解: Ai ( i = 1,2,3,4):“ 所取一盒产品属于甲，乙 ，丙 ，丁厂生产 ” B ： “ 所 取 一 个 元 件 为 不 合 格 品 ” 则 ， ， ， ， ， ， 由 全 概
