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1、极限是一个重要的概念极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。首先介绍刘徽的割圆术,设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式An+1AAn+2(An+1)-An(n=1，2，3.)得到圆周率=3927/1250约等于3.1416 数列极限： 设是一数列，如果存在常数a，当n无限增大时，an无限接近（或趋近）于a，则称数列收敛，a称为数列的极限，或称数
2、列收敛于a，记为liman=a。或：ana，当n。 数列极限的性质： 1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的； 2.改变数列的有限项，不改变数列的极限。 几个常用数列的极限： an=c 常数列 极限为c an=1/n 极限为0 an=xn 绝对值x小于1 极限为0 函数极限的专业定义: 设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x满足不等式0|x-x。| 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： |f(x)-A|x0)无限趋近于点x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作x
3、x0+limf(x)=a. 函数极限的性质： 极限的运算法则（或称有关公式）： lim(f(x)+g(x)=limf(x)+limg(x) lim(f(x)-g(x)=limf(x)-limg(x) lim(f(x)*g(x)=limf(x)*limg(x) lim(f(x)/g(x)=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等于0 ) lim(f(x)n=(limf(x)n 以上limf(x) limg(x)都存在时才成立 lim(1+1/x)x =e x lim(1+1/x)x =e x0 无穷大与无穷小： 两个重要极限： 1、lim sin(x)x 1 ，x0 2、lim （
4、1 + 1x）x e ，x0 （e2.7182818.，无理数） 举两个例子说明一下 一、0.9999991？ 谁都知道1/30.333333，而两边同时乘以3就得到10.999999，可就是看着别扭，因为左边是一个“有限”的数，右边是“无限”的数。 二、“无理数”算是什么数？ 我们知道，形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的，它的每一位都只有在不停计算之后才能确定，且无穷无尽，这种没完没了的数，大大违背人们的思维习惯。 结合上面的一些困难，人们迫切需要一种思想方法，来界定和研究这种“没完没了”的数，这就产生了数列极限的思想。 类似的根源还在物理中（实际上，从科学发展的历程来看，
5、哲学才是真正的发展动力，但物理起到了无比推动作用），比如瞬时速度的问题。我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示，若时间差趋于零，则此比值就是某时刻的瞬时速度，这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值，就是00，这有意义吗（这个意义是指“分析”意义，因为几何意义颇为直观，就是该点切线斜率）？这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释，极限的思想呼之欲出。 真正现代意义上的极限定义，一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数学教师，这对我们今天中学教师界而言，不能不说是意味深长的。 几个常用数列的极限 an=c 常数列 极限为c an=1/n 极限为0 an=xn 绝对值x小于
6、1 极限为0 真正现代意义上的极限定义，一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数学教师.所谓“定义”极限，本质上就是给“无限接近”提供一个合乎逻辑的判定方法，和一个规范的描述格式。这样，我们的各种说法，诸如“我们可以根据需要写出根号2的任一接近程度的近似值”，就有了建立在坚实的逻辑基础之上的意义。 举两个例子说明一下 一、0.9999991？ 谁都知道1/30.333333，而两边同时乘以3就得到10.999999，可就是看着别扭，因为左边是一个“有限”的数，右边是“无限”的数。 二、“无理数”算是什么数？ 我们知道，形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的，它的每一位都只有在不停计算之后才能确定，且无穷无尽，这种没完没了的数，大大违背人们的思维习惯。 结合上面的一些困难，人们迫切需要一种思想方法，来界定和研究这种“没完没了”的数，这就产生了数列极限的思想。 类似的根源还在物理中（实际上，从科学发展的历程来看，物理可能才是真正的发展动力），比如瞬时速度的问题。我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示，若时间差趋于零，则此比值就是某时刻的瞬时速度，这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值，就是00，这有意义吗（这个意义是指“分析”意义，因为几何意义颇为直观，就是该点斜率）？这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释，极限的思想呼之欲出。
