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1、用轨迹法求对称曲线的方程清远市一中 吴树桂求某一曲线的对称曲线的方程，是一个基本而重要的问题，这个问题需要一种简便而通用的解决方法. 下面我们先来看两道例题： 例一 已知平行四边形两条边所在直线的方程是AB：x+y-1=0，BC：3x-y+4=0，它的对角线的交点是M（3，3），求其它两边CD和DA所在直线的方程.解法一 x+y-1=0 解方程组 3x-y+4=0 得 x=-，y=， 则点B的坐标为（-，） 因点M是BD的中点，由中点坐标公式，马上得D点的坐标为（，）. 由 CDAB，DABC，KAB=-1，KBC=3 有 KCD=-1，KDA=3， 因此CD和DA所在直线的方程是： CD：y
2、=-(x-)+； DA：y=3(x-)+ 即 CD：x+y-11=0； DA： 3x-y-16=0. 解法二 设直线CD上任一点的坐标为P（x，y），则点P关于点M对称的点为P1（6-x，6-y），由平行四边形的对称性知点P1必在直线AB上，把P1的坐标代入直线AB的方程得 (6-x)+(6-y)-1=0 ， 即 x+y-11=0，这就是CD所在直线的方程.同理，把点(6-x，6-y)的坐标代入直线BC的方程得：3(6-x)-(6-y)+4=0即 3x-y-16=0， 这就是DA所在直线的方程.例二 求直线3x+4y-5=0关于直线x+y=0对称的直线的方程.解法一 3x+4y-5=0 解方程
3、组LY x+y=0得 x=-5，y=5. 故两直线的交点为（-5，5）.12如图示，1=2，3X+4Y-5=0则有 tg1=tg2，X+Y=0XO而两已知直线的斜率分别为 -和 -1，设所求直线的斜率为k，那么有 解得 k=-，所以所求直线的方程为 y-5=-(x+5) 即 4x+3y+5=0解法二 设所求直线L1上任一点为P（x，y）， 它关于直线x+y=0对称的点的坐标为P1（-y，-x）. 由题设知点P1必在直线3x+4y-5=0上，则有3(-y)+4(-x)-5=0，即 4x+3y+5=0， 这就是所求直线的方程.从上述我们可以看到：（1）这两例中的解法二就是轨迹法，它显然比其它方法来
4、得快捷简便. （2）用轨迹法求对称曲线的方程，最关键的是知道对称点坐标之间的关系.下面我们就来探讨求对称点坐标的一些结论.定理1 点P（x，y）关于点M（a，b）成中心对称的点的坐标为P1（2a-x，2b-y）.证明：设对称点P1的坐标为（x1，y1），则由M是的中点得a=，b=，所以 x1=2a-x，y1=2b-y. 因此 P1的坐标为P1（2a-x，2b-y）.定理2 点P（x，y）关于直线L：Ax+By+C=0（A、B不同时为零）对称的点P1的坐标是（，）证明 设点P1的坐标为（x1，y1）（1） 如果A0，则xx1. 直线L垂直平分线段PP1， A+B+C=0 解这个方程组得 x1=
5、， y1=. 故命题成立.（2） 如果A=0，则直线L的方程可写成y=-，这时P1的坐标为（x，-y）， 显然命题也成立. 综合（1）、（2）知命题成立.根据定理1和定理2，运用轨迹法即可推得有关对称曲线的下列结论：推论1 曲线f（x，y）=0关于点M（a，b）成中心对称的曲线的方程是f（2a-x，2b-y）=0.推论2 如果曲线的方程中，用2a-x代x，同时以2b-y代y而方程不变，那么曲线关于点（a，b）成中心对称.推论3 曲线C：f（x，y）=0关于直线L：Ax+By+C=0（A、B不同时为零）成轴对称的曲线C1的方程是：f（，）=0.特别地，有如下结论：推论4 曲线f（x，y）=0关于
6、原点成中心对称的曲线的方程是f（-x，-y）=0.推论5 曲线f（x，y）=0关于x轴对称的曲线的方程是 f（x，-y）=0.推论6 曲线f（x，y）=0 关于y轴对称的曲线的方程是f（-x，y）=0.推论7 曲线 f（x，y）=0关于直线 x-y+c=0对称的曲线的方程是f（y-c，x+c）=0.推论8 曲线 f（x，y）=0 关于直线x+y=c=0对称的曲线的方程是f（-y-c，-x-c）=0.例三 求曲线=1 关于直线x+y=0对称的曲线的方程.解 在已知曲线的方程中，用-y代x，-x代y， 得 =1,即 =1 ， 这就是所求曲线的方程.例四 若圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0，则a的值等于 .解 在圆C的方程 x2+y2-4x+3=0中，用y+1代x，x-1代y，方程变为： （y+1）2+（x-1）2-4（y+1）+3=0 即 x2+y2-2x-2y+1=0则与圆C关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是 x2+y2-2x-2y+1=0，而这是唯一， 因此 a=2.
