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1、关注公众号品数学2021届四川省成都市高新区高三第三次阶段性考试数学（理）试题一、单选题1复数满足，为虚数单位，则（ ）A1BC2D【答案】B【分析】根据复数除法运算法则即可求解.【详解】，.故选：B.2已知集合，则中元素的个数为（ ）A2B3C4D6【答案】C【分析】采用列举法列举出中元素的即可.【详解】由题意，中的元素满足，且，由，得，所以满足的有，故中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.3的展开式中，第4项的系数为（ ）AB80C40D【答案】A【分析】用二项式展开式的通项公式代入计算即可.【详解】解：，故选：A【点睛】考
2、查二项展开式中指定项的系数，记住展开式的通项公式是关键，基础题.4在等差数列中，为前项和，则ABCD【答案】A【解析】由. 故选：A.5已知是边长为2的正方形的边中点，则的值是（ ）A2B3C4D【答案】C【分析】由即可求出.【详解】.故选：C.6已知，满足不等式组，则的最大值为（ ）A2B3C4D【答案】D【分析】首先画出不等式组表示的可行域，再利用目标函数表示的几何意义求最值.【详解】首先画出可行域，当时，画出初始目标函数表示的直线，平移目标函数后，当直线过点时，取得最大值，故选：D7已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】D【分析】
3、由线面的位置关系可判断A，B；由线面垂直的性质和线面平行的判定可判断C；由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断D.【详解】对于A，若，可得或，故A错误;对于B，若，可得或，或m与相交，故B错误;对于C，若，可得或，故C错误;对于D，若，由线面平行的性质定理可得过m的平面与的交线1与m平行，又，可得，则，故D正确.故选：D8已知，则（ ）ABCD【答案】D【分析】根据指数函数、对数函数和正弦函数的单调性求出的范围即可判断.【详解】，.故选：D.9已知，则的最大值为（ ）AB2C4D【答案】B【分析】由两点的距离公式表示，再运用两角差的余弦公式化简，利用余弦函数的值域求得最值.【详解】，.
4、，.故选B.【点睛】本题综合考查两点的距离公式、同角三角函数的平方关系、两角差的余弦公式和余弦的值域，属于中档题.10命题：函数的最小正周期为的充要条件是；命题：定义域为的函数满足，则函数的图象关于轴对称.则下列命题为真命题的是（ ）ABCD【答案】A【分析】首先判断命题的真假性，再判断复合命题的真假.【详解】函数周期，解得：，所以命题是真命题；若满足定义域为的函数满足，函数是偶函数，偶函数关于轴对称，故命题也是真命题，所以是真命题.故选:A11已知，若直线分别与的交点横坐标为，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【分析】设直线分别与与的交点分别为，由反函数图象关于直线对称，推出，且，再由基
5、本不等式，即可得出答案【详解】根据题意可得，设直线分别与与的交点分别为，因为与互为反函数，图象关于直线对称，由直线与直线垂直，两直线的交点为，所以点，关于点对称，所以，且所以，故选：A【点睛】关键点睛：解答本题的关键是求出，且，这个结论的得到涉及到反函数的图象和性质.12如图，一张矩形纸的长、宽分别为，四条边的中点分别是，现将其沿图中虚线折起，使得，四点重合为一点，从而得到一个多面体，关于该多面体有下述四个结论：该多面体是六面体； 点到棱的距离为；平面平面； 该多面体外接球的直径为，其中所有正确结论有（ ）个A1B2C3D4【答案】C【分析】利用图形翻折，结合勾股定理，可确定该多面体是以A，B
6、，C，D为顶点的三棱锥，利用线面垂直，判定面面垂直，即可得出结论.【详解】结论中，长、宽分别为，A，B，C，D分别是其四条边的中点，则由勾股定理可得，四点重合为一点，从而得到一个多面体，如图，该多面体是以A，B，C，D为顶点的三棱锥，故错误；结论中，是等腰直角三角形，点到棱的距离为，故正确；结论， 平面，又平面，平面平面，故正确；结论，三棱锥扩展为长方体，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，长方体的外接球直径是长方体的体对角线，设长方体的三边长分别为，则 ，可得，该多面体外接球的直径为，故正确.所以结论正确，共3个.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够根据题意，得出折叠之后的几何体，并
7、依托于一个长方体画出其图象，再进行位置关系的证明，以及求值.二、填空题13已知函数，的最小正周期是_.【答案】【分析】先化简函数f(x)，再利用三角函数的周期公式求解.【详解】由题得，所以函数的最小正周期为.故答案为：【点睛】本题主要考查和角的正切和正切函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.14已知数列的前项和，则_.【答案】【分析】分，两种情况，由求解.【详解】当时，当时，而适合上式，所以故答案为：15若对任意a，b满足0abt，都有blnaalnb，则t的最大值为_.【答案】e【分析】不等式变形为，只要在上为增函数即可【详解】因为0abt，blnaalnb，所
8、以，令y，x(0，t)，则函数在(0，t)上单调递增，故y0，解得0xe，故t的最大值是e.故答案为：【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，解题关键是把问题转化为新函数在上递增，方法是构造法16已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，若双曲线的左支上存在一点P，使得与双曲线的一条渐近线垂直于点H，且，则此双曲线的离心率为_.【答案】.【分析】设出双曲线的焦点和一条渐近线方程，求得到渐近线的距离，可得，由直角三角形的锐角三角函数和三角形的余弦定理，化简可得，再由离心率公式可得所求值.【详解】设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为：， 一条渐近线方程为，可得到渐近线的距离为，则，在直角三角形中，在
9、中，可得，化为，即有，故答案为：.【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查三角形的余弦定理和锐角三角函数的定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题.三、解答题17在中，.（1）求；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）直接利用正弦定理求出结果.（2）直接利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果.【详解】（1）中，.所以：，利用正弦定理得：，解得：，由于，所以：，利用三角形内角和，所以：；（2）利用余弦定理：，解得：.所以：.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，重点考查计算能力，属于基础题型.18共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚某市有统计数据显示，
10、2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？年轻人非年轻人合计经
11、常使用单车用户120不常使用单车用户80合计16040200使用共享单车情况与年龄列联表（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布列与期望参考数据：独立性检验界值表0.150.100.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中，【答案】（1）列联表见解析，有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望为【分析】（1）补全的列联表，利用公式求得，即可得到结论；（2）由（1）的列联表可知，经常使用单车的“非年轻人”的概率，即可利用独立重复试验求解随机变量取每个
12、数值的概率，列出分布列，求解数学期望.【详解】（1）补全的列联表如下：年轻人非年轻人合计经常使用共享单车10020120不常使用共享单车602080合计16040200于是，即有的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关（2）由（1）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，的分布列为01230.7290.2430.0270.001的数学期望【点睛】本题主要考查了列联表,独立性检验，二项分布，二项分布的期望，属于中档题.19如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，点是的中点（）线段上是否存在一点，使得点，共面，存在请
13、证明，不存在请说明理由；（）若，求二面角的余弦值【答案】（）存在的中点满足条件.证明见解析；（）.【分析】（）取的中点，连接，根据平行的传递性，证明，即可证明四点共面；（）取的中点，连结，以点为坐标原点，分别以、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，根据向量夹角公式，即可求出结果.【详解】证明：（）存在的中点满足条件；连接，因为点是的中点，则是三角形的中位线，所以，又由已知，所以，所以，四点共面；（）取的中点，连结，以点为坐标原点，分别以、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为，则，设为平面的一个法向量，则，所以，不妨取，则，所以；设为平面的一个法向量，则，所以，取，则，所以，又因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】方法点睛：立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计
