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1、误差理论和数据处理第一节 引言由于生物的信息特征(非线性、拒测性、随机分散性、极限强度不可计测性)，以及测试手段的技术性诸因素，在一切实验课题中，误差的出现是不可避免的。为了尽可能地提高实验的精度，逼近真实，以便最有效地获得实验所可能取得的科学效果，因而要进行必要的数学处理。谈到实验的数学处理时，往往想到的是误差和有效数字。实测数学处理是包括实验前、进行中和实验后的全部数学处理过程。即实验前的设计和论证，实验进行时的控制和监视，实验后的数据处理和结果分析。作为基础知识的一个部分的误差和有效数字，在这些过程中都是不可缺少的。并不是只在实验后的数据处理中才用到。第二节 误差的概念及其概率统计性质误
2、差是指测量值与真实值之差。广义的误差泛指测量值、近似计算值与真实值之差。真实值则又泛指校准值、理论值、公认值等。由于误差反映测量值偏离真实值的大小和方向，故亦称绝对误差。即误差=测量值一真实值误差与真实值之比是相对误差。一般测量值与真实值相差不会很大，所以有时也将误差与测量值之比表示相对误差。由直接或间接测量所得的数据，都叫测量值。对含有误差的测量值，消除误差的影响并加以修正后的数据均为真实值。即真实值=测量值土修正值但应注意，根据测不准原理，这里所谓的真实值并非指真正的客观真值。测量值与算术平均值之差，谓之偏差。在数据处理中也是最常用到的。而算术平均值更是最常用的一种最佳值或最可信赖值。正确
3、理解误差和有关的处理方法，必须把认识建立在概率统计的概念基础上。例如，在同等实验条件下，(使用同一种仪器，采取同一种测量程序和方法，多次测量同一量的数值)，由于每次测量的结果具有随机性，各次所得的结果往往不同，这种测量结果的随机性来源是多方面的。在多数情况下，往往是几个方面的因素造成的。如测量的随机误差是在确定的实验条件下，有不能完全控制的偶然因素，造成仪器性能的不稳定性和辨别率上的统计涨落，以及观测者的辨别能力的起伏。随着技术水平的提高，后者已可能用自动记录设备来避免，但前者总是存在的，不可能完全消除。有些量实际是建立在统计基础上的，本身就有统计涨落，这种随机性质是不能简单地靠提高仪器精度来
4、改变的。对于这样的一些量的测量，必须通过多次测量并对这些多次测量的结果进行统计处理。从提高实验结果的水平来看，多次测量总是有利的。考虑到现代重大的实验要花费巨大的人力、物力和时间，针对各种不同的情况，在实验设计和结果处理方法上采取相应的措施，是很重要的。第三节 误差的分类在实验研究中，一般分为系统误差和随机误差两类。近年来，随着实验科学的发展而逐渐明确的还有理论误差这一新的概念。1. 系统误差在同一条件下(仪器、环境、观测者皆同)，多次测量同一量时，误差绝对值的符号保持恒定，即测量值的大小和方向总是规律性地沿着一定方向偏离真实值。这种误差叫做系统误差。在测量条件改变时，误差亦依确定的规律而变化
5、。例如示波器偏心差引起的角度测量误差是依正弦规律而变化的。这种确定性反映着系统误差的特点。系统误差产生的原因很多:如由于(1)测试仪器本身的缺陷;(2)测试原理和方法的似是而非;(3)受环境影响，如外界的温度、压力、湿度变化等;(4)观测者的习惯和偏见。系统误差是一个比较复杂的问题。由于系统误差须改变实验条件和测量方法才能发现，只有在很好地分析整个实验所依据的原理和测量方法的每一步骤以及所用的仪器之后，才能找出产生误差的原因，才有可能设法消除或减小在测量结果中的影响。一般采取扩大实验范围，采取不同方法选取样品，用不同方法分离，筛选样品。2. 随机误差在相同条件下，对同一量进行重复测量时，在尽力
6、消除明显的系统误差之后，所测得的数据仍会出现一些没有规律性的涨落，这就是随机误差。从表面看，随机误差的出现，似乎纯属偶然，故亦称偶然误差。但误差的出现与测量次数有关，如果测量次数很多，随机误差亦有其明显的规律性。随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值逐渐趋近于零，故多次测量结果的算术平均值更接近于真实值。实验和理论证明，测量误差分布曲线皆服从高斯正态分布。(图8一1)图中，阴影部分的面积表示测量值出现在区间(x。一x、)中的概率。即在所有N次测量中，测量值出现在区间(x。一x、)中的次数N占总数N的比率为(N/N)。可以看出，随机误差出现的概率:(1)绝对值相同的正负误差近于相等，(对称性)
7、;(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多，(单峰性)，(3)在一定测量条件下，误差的绝对值不超过一定限度，一般不会出现大误差，(有界性)(4)随机误差的算术平均值，随测量次数的增加而趋近于零，(抵偿性)。通常实验的误差，主要是指随机误差。误差理论的任务主要是研究这种随机误差对测量的影响。通过对测量次数的适当处理，尽可能减少这种影响，对测量的精度作出正确的估计。一个熟知的例子，射击打靶，中弹位置对靶心的距离形成正态分布，即可由上述定理导出。设中弹位置与靶心的距离为x:，这是一个随机变量，其值系由多因素的结果。诸如瞄得不准，持枪不稳，气流对子弹飞行的影响，以及测量的误差等等。3. 许多实
8、验要测量的量并不能都可以直接测到，而有的是借助于由直接测量到的结果，通过适当的理论公式换算出来的。如果所用的理论公式有一定的近似性，由之取近似所带来的偏差虽也可估计其大小量级，但并不是确定的。这种不确定性称理论误差。理论误差也是以随机的概率分布形式表达出来，但它和随机误差系统有很大的不同。由于它远小于随机误差，常不为人所重视。随着实验水平的提高，大大减小了随机误差。这时，理论误差的影响就不应完全忽略。所以把估算误差仅仅理解为统计误差是不够妥当的。综上所述，系统误差的特点是它的确定性，而随机误差的特征则为偶然性，二者常存在于一切科学实验之中。它们之间是相互联系的，有时很难以严格区分;有时常把一些
9、未定系统误差当作随机误差，有时把一些可定的但过于复杂的系统误差以随机误差处理，使得部分误差被抵偿得到比较准确的结果。系统误差和随机误差的区别，且与时间和空间因素有关。例如，环境、温度对标准仪表的校验影响，在短时间内可以看成是系统误差，而在长时间内则是随机误差。随着科学技术的发展，对于误差来源及其规律性的认识深化，就有可能把曾认为属于随机误差的误差确定为系统误差。当前，在系统误差与随机误差之间是否有本质上的差别，仍然是一个争论的间题。实验中可能出现的系统误差，哪些可以在实验过程中设法消除，哪些可以从实验结果中扣除;哪些系统误差既难于在过程中消除，也难以从实验结果中扣除，又必须以未能去掉的系统误差
10、的形式保留下来;在实验结果的处理中，是否有理论误差，如何尽可能减少这种误差，减少到小于统计误差的程度，是一些实验从设计和论证到实验结果处理和分析，必须回答的间题。4. 过失误差在实际测量中，常因观测者的粗枝大叶，采取方法的不正确所引起的误差，如读数错误、记录错误、计算错误，则无规律可循。这种过失性的误差就需要从思想上加强责任心，精细操作，来避免因错误而产生的误差。第四节 有效数字的书写与运算有效数字概念用量仪和量具直接读出的数字，包括最末一位估计读数均为有效数字。书写不带误差的有效数字时，应使左边第一个非零数字至最末一位数皆为有效数字。即保留一位估计数字或欠准数字。例如，用米尺测量人体某一环节
11、的长度时，很容易读出厘米的数值，而且可以估计到毫米，再小就估计不到了。如10.64米，其中4为欠准数字，而10.64皆为有效数字。这就是说以米尺测量长度时，只能确定有效数字到毫米为止。如以刻有毫米的量尺测量一长度，就可以估计到毫米的十分之一。如13.25厘米，其中13.2是可以直接读出的可靠数字，5则是估计的欠准数字，但它们都是有效数字。如果用这种量尺测量到的长度读数恰好是13或13.2，也应写作13.00和13.20，它们都是有效数字。但是只表示小数点位置的0则不算为有效数字。如0.001293千克/米，左边的三个0都不是有效数字。这是由于它们只表示单位的大小，而非测量的精密程度。故应写作1
12、.293x1o一3千克/米。书写带有误差的有效数字常用极限误差。无论是仪器误差或者是平均误差，应使测量值末位数字与误差对齐。这是因为测量结果的有效位数是由误差来决定的。例如以钢卷尺测量长度，设L=152.65土0.3厘米，0.3是钢卷尺的最大误差。考虑L还要参与运算，所以测量的最后一位数字5应保留。为了统一书写，就写作L=152.65士0.3厘米。如果L是最后测量的结果，则写作L=2。7士0.3厘米。对于一些比较精确而重要的测量结果，常将结果或误差比上面规定的多保留一位。例如普朗克常数h=(6.626176土0.000036)*10-34。有效数字的多少是由测量仪器的精度来决定的。有效数字越多，说明仪器的准确度越高。但有效数字是不能随意增咸的。运用有效数字计量在于避免不必要的繁复运算，便于选择精密程度适当的仪器，达到实验要求的结果。参考文献何贡，计量技术，1975肖明跃，实验误差估计与数据处理1980刘智敏，误差与数据处理1981国际计量局，计量学报1982
