《浅谈中学竞赛数学中的整除问题毕业论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浅谈中学竞赛数学中的整除问题毕业论文（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、浅谈中学竞赛数学中的整除问题毕业论文 本科生毕业论文浅谈中学竞赛数学中的整除问题二级学院:数学与计算科学学院专 业:数学与应用数学年 级:学 号:作者姓名:指导教师:完成日期:目录1 引言12 整除的整除性定义及其性质22.1 整除的定义22.2 整除的性质23 竞赛数学中整除问题的解法23.1 尾除法23.1.1 能被或整除的数33.2 位数和除法43.2.1 能被3或9整除的数43.3 位数和差法53.3.1 能被11整除的数53.4 结合法53.4.1 尾除法与位数和除法相结合53.4.2 尾除法与位数和差法相结合63.4.3 位数和除法与位数和差法相结合63.4.4 尾除法、位数和除法
2、与位数和差法相结合63.5 因式分解法63.6 连续整数之积法83.7 数学归纳法84 整除问题在数学竞赛中的典型例题解105 结束语13 参考文献15浅谈中学竞赛数学中的整除问题 摘 要:本文在中学竞赛数学与整除问题的关系解的基础上,归纳出解决这类问题的一般方法,并结合竞赛原题解,最后得出归纳性总结. 关键词:竞赛数学;中学;整除Divisible Problems in Middle School Math Competitions Abstract:In this paper, analysis the relationship between middle school mathema
3、tics competition and the divisibility problem, summarizes the common method to solve this problem, combined with analysis of the competition the original question. Finally the induction summary is obtained. Key words: mathematical competition; middle school; division1 引言 随着数学竞赛的不断发展,数学竞赛已逐渐形成了一门专门的数
4、学学科?竞赛数学,也可以叫做奥林匹克数学.把大学的高等数学下放到中学的初等数学中去,用初等数学的语言来表述高等数学的问题,并且运用初等数学的方法去解决此类问题,这便是竞赛数学的任务.初等数论研究的是数的规律,它是整数性质的数学分支,同时也是数论的一个最古老的分支.它以算术方法为主要研究方法,主要内容有整数的整除理论、不定方程、同余式等. 因为初等数论与数学竞赛中的数论问题是一般与特殊的关系,所以在参加数学竞赛之前,首先要学习初等数论的基本概念和性质.例如整除的概念和性质,在中学数学竞赛中如果不加特殊说明,我们所涉及的数都是整数,所采用的字母也表示整数.初等数论问题是数学竞赛中常考的内容之一,而
5、对于整除性质的考察一直是中学数学竞赛中应用范围最广的核心内容,作为中学数学教师,有必要对这些知识进行系统的考查.2 整除的整除性定义及其性质2.1 整除的定义 定义1 设是两个整数,其中, 若存在整数使得, 则称整除,记作.反之,则称不整除,记作.2.2 整除的性质 1 传递性若,则; 2 若,则对任意的整数有.更一般地,若都被b整除,则对任意整数有. 3 若且,则; 4 若,当时,则; 5 设是质数,若,则存在使得; 6 带余除法对任意整数且,则存在唯一整数和,使得 ,.于是,.3 竞赛数学中整除问题的解法3.1 尾除法 定义2 观察整数的尾数,如果它的尾数能被另一个整数整除,那么这个数就能
6、被这个数整除,这种方法叫做尾除法.3.1.1 能被或整除的数 定理1 设是正整数,若,则. 证 设,则,又因为,则.所以, (1)故. 设,则,由(1)可得. 定理2 设是正整数,若,则. 证 与定理1证明类似. 例1 1590能被2整除吗? 解 ,又,所以. 例2 129840能被8整除吗? 解 ,又,所以. 例3 6540能被5整除吗? 解 ,又,所以. 例4 201375能被125整除吗? 解 ,又,所以.3.2 位数和除法 定义3 用被乘数各位上的数之和除以除数来判断整除的方法,叫做位数和除法.3.2.1 能被3或9整除的数 定理3 设.若或,则或. 证 设.因为对任意的自然数,所以.
7、又 ,则. 同理可得 . 例5 2013能被3整除吗? 解 因为, 所以. 例6 84963能被9整除吗? 解 ,又,所以. 注 为了使判断更加便捷,几个数相加时可以用“弃三六九法”或“弃九法”.“弃三六九法”就是在判断能否被3整除的相加口算中,遇见3、6、9的数舍去不加.“弃九法”就是在判断能否被9整除的相加口算中,遇见9或相加为9的数舍去不加. 例7 3692013能被3整除吗? 解 3、6和9都舍去不加,又,所以.3.3 位数和差法 定义4 用被除数奇偶数位上数的和作差来判断整除的方法, 叫做位数和差法.3.3.1 能被11整除的数 定理4 设.则. 证设. 必要性:因为对任意的自然数,
8、所以.又 ,则 . 充分性:同理可证. 例8 35849能被11整除吗? 解 ,又因为,所以.3.4 结合法 定义5 运用两种或两种以上基本方法来判断一个数能否被另一个数整除的方法,叫做结合法.3.4.1 尾除法与位数和除法相结合 例9 2013840能被72整除吗? 解 由3.1.1和3.2.1可知,又因为,所以. 例10 200975能被225整除吗? 解 由3.1.2和3.2.1可知,又,所以.3.4.2 尾除法与位数和差法相结合 例11 968768能被88整除吗? 解 由3.1.1和3.3.1可知,所以.3.4.3 位数和除法与位数和差法相结合 例12 733744能被99整除吗?
9、解 由3.2.1和3.3.1可知,所以.3.4.4 尾除法、位数和除法与位数和差法相结合 例13 46728能被66整除吗? 解 由3.1.1和3.2.1和3.3.1可知,所以 注 判断一个数能否被另一个数整除,用结合法时,要先用尾除法,再用位数和除法,后用位数和差法,这们判断整除比较简单捷.3.5 因式分解法 例14 设是3的倍数,求证是9的倍数. 证明 ,由已知得,而显然 ,所以.故. 注 下面两个分解式在这类论证中应用很多. 若是正整数,则, 若是正奇数,则. 例15 已知为正奇数,求证 证明因为是正整数,则是正奇数,则所以,从而同理可得 , 从而, .又 ,所以.3.6 连续整数之积法
10、1 对任意整数,都有;2 对任意整数,都有,或. 例16 如果整数a不能被2和3整除,则必能被24整除. 解 因为,只需证可以被24整除即可. 证明 因为,所以a为奇数,设,则. 因为,故,所以,即.又因为为三个连续整数,则,即 . 因为 ,所以 .又因为,所以,故 能被24整除.3.7 数学归纳法 例17 设n是正整数,求证: . 证令,因为,所以. 假设当时,有. 当时,有,所以要证,只需证,即只需证明. 令,显然有 ,. 假设,由,所以,根据归纳法原理可知对一切,有,从而有,再由归纳法原理可知,对于正整数,有.4 整除问题在数学竞赛中的典型例题解 例4.1(1987年北京初二数学竞赛题)
11、x,y,z均为整数,若,求证: 证明因为 和, ,所以 由,得. 例4.2 上海1989年高二数学竞赛设为满足不等式的整数,且,求所有可能数组. 解 由于 和.则存在正整数k,使得 (1)所以,故k1. 若a3,此时 矛盾,由已知a1,则只有a2. 当a2时,代入(1)中得(2)即 ,所以,再由知,从由(2)而易得. 说明 在此例中通过对因数k的范围讨论,从而逐步确定是一项重要解题技巧. 例4.3 (第18届希望杯初一第2试)今天(2007年4月15日,星期日)是第18届“希望杯”全国数学邀请赛举行第2试的日子,那么今天以后的第天是星期几 . 解 对于大部分初中生而言,这是除数为7的整除问题,
12、带余除法就是首选的解题依据. 解 因为则 ,所以.即今天以后的第天是星期三. 例4.4 (第19届希望杯初二第2试23题)已知是正整数,且,若与的末位数字相同,求的最小值. 解 由已知得,即,.又,所以. 令,则要使得.又,有Euler定理得. 因,故取,时,有. 反思 由此可见,与十进制数的后几位数字有关的问题,往往是把原问题转化成的倍数相关的整除问题. 例4.5 (第20届希望杯初一第1试)唐太宗传令点兵,若一千零一卒一营,则剩余一人;若一千零二卒一营,则剩四人.此次点兵至少 人. 分析 根据题意可以得到一个一次同余方程,根据形式分数即可解题.由于一次同余方程与一次不定方程等价,因此本题也
13、列成不定方程运用整除理论灵活求解. 解法1 设第一次点兵共营,则总兵数为人;设第二次点兵共营,则总兵数为人.则,即.因为,所以,此时,则 故唐太宗此次点兵至少有1000000人. 解法2 设第一次点兵共营,则总兵数为人. 根据题意得,因为,则所以原方程的解是,则故唐太宗此次点兵至少有1000000人. 反思 解法二使用的是形式分数法.若,则称为形式分数.它具有以下性质: 1 , 2 ,其中.5 结束语 我们不难发现初等数论最基础的是整除理论,由它可以演化出许多数论定理来解决数论问题,然而若要很快地解决数论问题,则要求我们多见识,以及学习大量的解题技巧.通过本论文的研究和总结,可以通过口算解决中学数学中可能遇到的简单整除问题.另外对于中学数学竞赛中的整除问题,提供了一些解题的方法和技巧,这对于以后做题的思维以及速度上会有所提高.将高等数学的内容下放到中学竞赛数学中,对于中学生来说既有利又有弊,这要求我们作为教师的要给予正确的引导.与其要求他们严格按照初等数论一般方法的步骤来解题,不如强调他们根据已有的知识经验巧妙地解题,以便更好开发学生的解题智慧,极大激发学生对数学的兴趣.当然在本论文中,还有许多需要改进的地方,希望各位老师和评委能提出宝贵意见.也希望在数学的道路上,我能
