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1、东南大学数值分析上机练习算法与程序设计实验报告第二章 非线性方程的解法牛顿迭代法*（学号） *（姓名）算法与程序题目见教材P56 上机题目20。一、算法原理根据题目的要求，是关于用牛顿迭代法法求解方程的通用算法。该法是一种通过斜率迭代的算法，其速度比二分法和简单迭代法都要快。其简单原理如下：设则存在一个数使得由如下定义的迭代序列收敛到：(1)对于函数，则其递推规则是(2)定义序列，则序列收敛到，也可表示为。现简要证明：对于，写出牛顿迭代公式(3)该公式可化简为(4)二、流程图题目要求于用牛顿迭代法法求解方程的通用算法。其计算过程主要用到迭代，图流程图1所示。输入各参数k=1迭代计算各误差误差在
2、允许范围之内TFbreakk=k+1 kmaxN输出图1 题1关于牛顿迭代法的算法流程图三、计算代码核心代码1) p1=;2) if (errdelta)|(relerrdelta)|(abs(y)epsilon),break;3) if kmaxN ,go to 1完整代码程序1：Newton.m% Description : 牛顿迭代法% Author : panyunqiang% Versoin : 1.0% Date : 2012-9-21%function p0, err, k, y=Newton(p0, delta, epsilon, maxN) % input - p0 is t
3、he initial approximation to a zero of f% - delta is the tolerance for p0% - epsilon is the tolerance for the function values y% - maxN is the maxium number of iterations%output - p0 is the Newton approximation to a zero% - err is the error estimate for p0% - k is the number of iterations% - y is the
4、 function value f(p0)for k=1:maxN %递归 p1=2*p03/(3*p02-3); %计算误差 err=abs(p1-p0); relerr=2*err/(abs(p1)+delta); p0=p1; %当前求出的根的函数值 y=p03/3-p0; %判断 if (errdelta)|(relerrdelta)|(abs(y)epsilon) break; endend程序2：Newton_Step.m% Description : 寻找题目中关于牛顿迭代法收敛的尽可能大的delta% 搜索步进为step=10(-6),即精确到小数点后六位% Author :
5、panyunqiang% Versoin : 1.0% Date : 2012-9-21%format longstep=10(-6);delta=10-8;epsilon=10-8;maxN=1000;ps=0.6;p0, err, k, y=Newton(ps, delta, epsilon, maxN);while(abs(p0) p0=newton(-2,10(-12),10(-12),1000)p0 = -1.732050807568877%收敛到根2、输入时 p0=newton(-0.85,10(-12),10(-12),1000)p0 = 1.732050807568877%收敛
6、到根3、输入时 p0=newton(-0.001,10(-12),10(-12),1000)p0 = -1.975314567913087e-028%收敛到根4、输入时 p0=newton(0.85,10(-12),10(-12),1000)p0 = -1.732050807568877%收敛到根5、输入时 p0=newton(2,10(-12),10(-12),1000)p0 = 1.732050807568877%收敛到根从上面的结果可知，牛顿迭代法具有非常高的收敛速度（程序newton.m运行迭代次数k很小），进一步还会发现每次迭代后的精确位数大致都会翻倍，即具有二阶收敛性。同时，可以看
7、出，当时，程序会收敛到所属区间的那个根；而当，则不会收敛到所属区间的那个根。可以画出函数图像观察迭代过程，如图2所示。其中，为初始值，经过一次迭代后得到x1，三次迭代后就接近准确值了。事实上，我们通过matlab仿真观察每次迭代的结果，如下表所示，也能看出Newton迭代法收敛迅速，且与图2所示的切线基本符合一致。表1 Newton迭代收敛情况迭代次数012345-0.8551.5491561.7705251.7332701.7320521.732051图2 Newton法迭代过程五、结论此次题目主要涉及牛顿迭代法。通过题目，我们可以看出，牛顿迭代法的效率是很高的。但该法的其中一个苛刻条件是二阶可导且一阶导数不能为0。有以下几个缺陷：1，有可能所得的序列左右来回飘移，不会收敛。2，序列会趋于重复或基本重复，造成循环。3，还有可能发生离散振荡序列。当根的阶数大于1时，迭代的速度会变慢，此时有一种更好的方法求解，即牛顿-拉夫森迭代的加速收敛法。而哈利法则是其另一种途径。
