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1、第十六章 量子力学基础一、 基本要求1、 了解波函数的概念及其统计意义 ，理解微观粒子的波动性2、了解一维定态的薛定谔方程及其波函数解一般必须满足的条件，以及量子力学中用薛定谔方程处理一维无限深势阱、一维谐振子等微观物理问题的方法 。3、了解量子力学对氢原子问题处理的基本方法，理解描述氢原子量子态的三个量子数（）的函义和能级公式。了解核外电子概率分布的函数形式和意义。二、 基本内容本章重点：建立量子物理的基本概念，了解微观粒子运动的基本特征、波函数的概念及其统计解释、一维定态的薛定谔方程及其应用。本章难点：波函数及其核外电子概率分布的意义。（一）波函数及其统计意义：微观粒子的运动状态称为量子态
2、，是用波函数 来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。（量子力学的基本假设之一） 玻恩指出：德布罗意波或波函数 不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。 量子力学中描述微观粒子的波函数本身是没有直接物理意义的, 具有直接物理意义的是波函数的模的平方，它代表了粒子出现的概率。 微观粒子的概率波的波函数是： 概率密度： 波函数模的平方代表时刻t，在处附近空间单位体积中粒子出现的几率。因此也被称为概率密度。即某一时刻出现在某点附近在体积元中的粒子的概率为：或 波函数必须满足标准化条件：单值、连续、有限。波函数必须满足归一化条件：（二）薛定谔方程：1、含时薛定
3、谔方程： 量子力学中微观粒子的状态用波函数来描述，决定粒子状态变化的方程是薛定谔方程。一般形式的薛定谔方程，也称含时薛定谔方程，即：式中是粒子的质量，是否粒子在外力场中的势能函数。2、定态薛定谔方程： 当粒子在稳定场中运动，势能函数与时间无关，即时，为定态薛定谔方程：其特解为：概率密度分布为： （三）一维势阱和势垒问题： 1、一维无限深方势阱： 对于一势阱有维无限深方 U(x)a0定态薛定谔方程为： 令x 薛定谔方程的解为： 其中都是常量，（为积分常量），其中分别用归一化条件和边界条件确定。根据 ，可以确定a = 0或 于是上式改写为：根据， 可以确定， 根据归一化条件，确定 ， 得能级公式为
4、：由此式知：一维无限深方势阱的能谱是分立谱, 这个分立的能谱就是量子化了的能级。当时，粒子处于最低能量状态，称为基态，其基态能量（零点能）为：激发态能量：一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的 。波动方程：波函数：概率密度：能量： 量子数：势阱中相邻能级之差：能级相对间隔：当 能量视为连续变化。与能量本征值 相对应的本征函数 为： 归一化波函数为： 2、势垒穿透和隧道效应： 有限高的势垒： 在P区和S的形式区薛定谔方程为： 在Q区粒子应满足下面的方程式： 用分离变量法求解，得： (P区) (Q区) （S区）在P区，势垒反 射系数： 在Q区，势垒透射系数： 粒子能够穿透比其动能高的势垒的现象，称
5、为隧道效应。经典理论：（1）E 的粒子， 越过势垒。 （2）E 的粒子，也存在被弹回的概率 反射波。 （2）E 的粒子，也可能越过势垒到达S区 隧道效应。（四）一维谐振子问题 1、一维谐振子的定态薛定谔方程 ：为系统的势能：简谐振子的能量为： 将势能形式代入定态薛定谔方程，得： 2、一维谐振子的能量本征值： 为使波函数量满足单值、连续、有限的条件，能量本征值只能取： 基态能量（零点能）为： （五）氢原子 1、角动量的本征函数和相应的量子数： 动量的本征值为：L称为轨道量子数或角量子数，表示电子相对于原子核的角动量的大小。核外电子相对于核的角动量，称为轨道角动量。电子轨道角动量的z分量的大小：
6、0, 1, 2, , 称为磁量子数。轨道角动量在空间不能任意取向，而只能取某些特定方向的性质，称为角动量的空间量子化。2、氢原子的能级： 氢原子的能级公式：从能级公式可以看到，E = 0，这就是电离。 当n = 1，即氢原子处于基态时，能量为： 3、能量的本征函数和能级的简并度： 对于任何一个主量子数n，共有： 个量子态都对应于相同的能量本征值 ，这种情形就称为能级 是简并的，或者更具体地说，定态能级的简并度是。 三、 类氢离子能级公式 ： （六）氢原子中电子的概率分布 1、电子概率的径向分布： 在半径为r到r+dr的球壳内发现电子的概率为： 式中是电子出现在相应球壳内的概率密度，称为电子概率
7、的径向分布函数。 可以证明，对于n-l-1 = 0的所有量子态的最概然半径可以表示为： 2、电子概率的角度分布函数：立体角dW = sinq dq dj内发现电子的概率为 ：式中(q, j)是电子出现在相应立体角内的概率密度，称为电子概率的角度分布函数。 电子概率的角度分布函数(q, j)与j无关,所以角度分布函数(q, j)是以z轴为旋转对称轴的。 三、问题讨论1、数归一化波函是什么意思？答：波函数绝对值的平方是在处的概率密度，即在此处附近空间单位体积中粒子发现的概率的大小。数归一化波函是指概率密度在全空间中的积分为1，即：上式在物理上，是指在整个空间发现粒子的概率为1。因为只要在空间有一个
8、粒子，遍及整个空间总能找到这个粒子。2、势阱中的粒子（包括谐振子）处于激发态时的能量都是完全确定的没有不确定能量。这意味着粒子处于这些激发态的寿命将为多长？它们自己能从一个态跃迁到另一个态吗？答：粒子所处的状态的是完全确定的，就是说在这样的确态上能量E的不确定度为零，即：，能量E的不确定度和寿命的不确定度之间的不确定度关系为： 现已知，就要求，也就是说，粒子处于这些激发态的寿命是无限长，如果没有外界扰乱动，它们自己不能能从一个态跃迁到另一个态。四、典型例题 1、粒子在一维无限深方势阱中运动（势阱宽为），若其状态对应于波函数，求粒子出现的概率最大有哪些位置？解：出现粒子的概率密度为： 对上海式求
9、极值：则 ， ， ， 其中：时， 时， 由边界条件知：时， 已出势阱。故：处，粒子出现的概率最大。2、一维无限深方势阱中粒子的定态波函数试求：粒子在此和之间被找到的概率，当：（1） 粒子处于基态时；（2） 粒子处于n=2的状态时。解：（1）当n1时，概率为： （2）当n=2时，概率为： 3、一个细胞的线度为，其中一粒子质量为，按一维无限深方势阱计算，这个粒子的和的能级和它们的差各是多少？ 解： 五、自我检测 1、一维无限深方势阱宽为，粒子的波函数为 ，则粒子出现的概率最大位置是 。 2、若氢原子处在的状态上，则有此时氢原子的能量是 ，角动量在外磁场方向上的分量的可能值是 。 3、当主量子数 时
10、，角量子数可能有的值是 ；当角量子数时，磁量子数可能有的值是。4、描述粒子运动的波函数，则表示；需要满足的条件为：；其归一化条件为：。5、已知粒子在一维矩形方势阱中运动，其波函数为，那么粒子在出现的概率密度为：（）A、 B、 C、 D、6、在一维矩形方势阱中，求粒子处在第一激发态（n2）时的能量以及在势阱中何处出现的的概率最大？7、氢原子中的电子处于、的状态，问：（1）该电子角动量L的值为多少？（2）这角动量L在z轴的分量为多少？8、设有一电子在宽度为的一维无限深方势阱中，求：（1）电子在最低能量级的能量；（2）当电子处于第一激发态（n2）时，在势阱中何处出现的的概率最小？六、自我评价参考答案及评分标准：评分标准：15题每题8分，68题每题20分，满分100分。参考答案：1、 2、 3、0,1,2, 4、t时刻粒子在处出现的概率密度；单值、连续、有限；5、A 6、 ； 在 ,出现的概率最大。 7、（1） （2） 8、（1） （2）, 处概率最小,其值为零。- 1 -
