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1、第四讲 函数的定义与图像自主招生 - 第四讲 函数的定义与图像 【说明】 函数是自主招生的一个非常重要内容！ 1.就近几年考试情况来看，复旦和交大“华约”自主招生中有关函数的内容大约占20%30%。 2.其中，热点问题是：方程的根的问题、函数的最值问题值域、函数的性质如周期、有界性等、函数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、 函数的图像及解析式等。而其中特别注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。 【知识引入】 函数的根本概念 1 【知识拓展】 一函数的定义 1.传统定义：设在某一变化过程中有两个变量x和y，假如对于某一范围内x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，那么就说y是x的函
2、数，x叫做自变量，y叫做因变量函数. 2.现代定义：设A、B是两个非空数集，假如按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f：A?B为从集合A到集合B的一个函数，记作y?f(x)，x?A.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f(x)x?A叫做函数的值域. 3.定义解读: 注意到现代定义中“A、B是非空数集”，因此，今后假设求得函数定义域或值域为，那么此函数不存在. 函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素，缺一不可.在函数的三要素中，对应关系是核心，定义域是根底，当
3、函数的定义域和对应法那么确定之后，其值域也随之确定. (二).映射的概念 将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合，便得到映射概念. 1.定义1：设A、B是两个集合，假如按照某种对应法那么f，对于集合A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应包括集合A、B，集合A到集合B的对应法那么f叫做集合A到集合B的映射，记作f：A?B 2.定义2：给定一个集合A到集合B的映射f：A?B，且a?A、b?B，假如在此映射之下元素-a和元素b对应，那么将元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.即假如在给定映射下有 f：a?b，那么b叫做a的象，a叫做b的原象. 3.定
4、义3：假如映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任一元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个元素之间存在一一对应关系，并称这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射。对于一一映射，A集合中的不同元素在B集合中对应不同的象。 4.定义解读 2 1三要素：A?B 2A中元素的任意性，B中元素的唯一性 3可以“多对一”，不可以“一对多”. 三函数与映射的关系 函数就是定义在非空数集A、B上的映射，此时称数集A为定义域，象集 C-f(x)x?A?为值域。C?B。因此函数是一种特殊的映射。 【典例精讲】 例1f：A?B，其中A?B?R，对应法那么f：x?y-x2?2x 1对于实数k?B
5、，在集合A中存在不同的两个原象，求k的取值范围 2假设对于实数p?B，在A中不存在原象，求p的取值范围 ?分析p 与解答： 21令y?k得x?2x?k?0，此方程有两个不同的解，需-(?2)?4k0，解之得k1 22解法一：由y-x2?2x-(x?1)2?1?1可知，映射f：x?y-x?2x的象的集合为2(-，1，对于实数p?B，在A中不存在原象，p?(-，1，所以p的取值范围为p1 1 解法二：令y?p，得x?2x?p?0，此方程没有实数解-?(?2)?4p0，解得p 例2从集合?a、b、c?到集合?m、n、p?可构成多少个映射，其中一一映射有多少个? ?分析p 与解答： 按照映射的定义，?
6、a、b、c?中的每一个元素，在?m、n、p?中都有唯一确定的对应元素，而所以从集合?a、b、c?到集合?m、n、p-a、b、c?的每一个元素在?m、n、p?中都有3种对应方式，可构成3?27个映射 对于一一映射，要求?a、b、c?中的每一个元素，在?m、n、p?中都有唯一确定的对应元素，并且322?m、n、p?中的每一个元素在?a、b、c?都有唯一确定的原象，所以从集合?a、b、c?到集合?m、n、p?可构成A33?6个一一映射 例3某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于时6再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整
7、函数y?xx表示不大于x的最大整数可以表示为 3 A.y?x 10 B.y?x?3x?4 C.y? 0 D.y?x?5 10?答案B ?分析p 与解答： 法一：特殊取值法，假设x?56，y?5,排除C、D；假设x?57，y?6，排除A，所以选B. 法二：设x?10m-(0-?9)，0-?6时,-?3-x?3-?x? ?m-m?，-?10-10-?10-?3-x?3-?x?当6-?9时,-m-m?1-1，所以选B. -?10-10-?10? 例4 有100名选手参加乒乓球赛，赛制是淘汰制，问需要安排多少场比赛决出冠军？ ?分析p ：用常规方法，需分多轮进展，即分类相加，非常繁而用映射方法，那么显
8、得简捷快速 ?解：一场比赛对应一个失败者(淘汰者)，要决出冠军必须淘汰99人(包括亚军)，故要进展99场比赛、 例5 厂家为回收空瓶，规定3个空瓶可换一瓶啤酒，有人订购10瓶啤酒，问此人能喝几瓶啤酒？ ?分析p ：用常规方法，往往错认为是可喝14瓶，剩2个空瓶，其实应为15瓶，先到商家借1个空瓶，凑成3个空瓶，再喝完将空瓶还给商家也就是表达数学中“添0法”，即“011” ?解：由题意，得3个空瓶对应一瓶啤酒(含瓶)，即2个空瓶对应一瓶量的啤酒(不含瓶)，如图 故10瓶啤酒10瓶量的啤酒10瓶空瓶10瓶量的啤酒瓶量的啤酒15瓶量的啤酒所以可喝15瓶啤酒 例6设V是全体平面向量构成的集合，假设映射
9、f：V?R满足：对任意向量 a?(x1，y1)?V、b?(x2，y2)?V，以及任意-R，均有 f(?a?(1-)b)-f(a)?(1-)f(b)那么称映射f具有性质P现给出如下映射： f1：V?R，f1(m)?x?y，m?(x，y)?V； f2：V?R，f2(m)?x2?y，m?(x，y)?V； f3：V?R，f3(m)?x?y?1，m?(x，y)?V 其中，具有性质P的映射的序号为_(写出所有具有性质P的映射的序号) 4 ?答案 ?解析 设a?(x1，y1)?V、b?(x2，y2)?V，那么： ?a?(1-)b-(x1，y1)?(1-)(x2，y2)?(?x1?(1-)x2，?y1?(1-
10、)y2) f1(?a?(1-)b)-x1?(1-)x2?y1?(1-)y2 -(x1?y1)?(1-)(x2?y2)-f1(a)?(1-)f1(b) 映射f1具有性质P； f2(?a?(1-)b)?x1?(1-)x22?y1?(1-)y2， 2?f2(a)?(1-)f2(b)-(x12?y1)?(1-)(x2?y2)， f2(?a?(1-)b)-f2(a)?(1-)f2(b)， 映射f2不具有性质P； f3(?a?(1-)b)-x1?(1-)x2?(?y1?(1-)y2)?1 -(x1?y1?1)?(1-)(x2?y2?1)-f3(a)?(1-)f3(b)， 映射f3具有性质P. 故具有性质P
11、的映射的序号为. 例72023上海高考真题14(理).将函数y?6?)的图像绕坐标原点逆时针方向4?6x?x2(x-0，旋转角?(0-)，得到曲线C.假设对于每一个旋转角?，曲线C都是一个函数的图像，那么?的最大值为_.?答案：arctan2 36?)，它的图象是以(3，?2)为4?6x?x2得：(x?3)2?(y?2)2?13，(x-0，?分析p 与解答：由y?圆心，13为半径的一段圆弧，设过原点且与曲线C相切的直线为y?kx，当-0时，k-313?，此时直线的倾斜角为?，即tan-，当切线与y轴重合时，曲线2koc2上的点满足函数的定义，即是一个函数的图象，再逆时针旋转时，曲线不再是一个函数的图象，旋转角为90-，那么tan(90-)?32，即-arctan 23 例8给定集合An?1,2,3,.,n，映射f:An?An满足： 5 第 页 共 页
