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1、1.（2012河南）如图，在菱形ABCD中，AB=2，,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空并证明：当AM的值为 时，四边形AMDN是矩形； 当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形.2. （2012浙江杭州）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE（1）求证：AF=DE；（2）若BAD=45，AB=a，ABE和DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长【答案】（1）证明：在梯形ABCD中，A
2、DBC，AB=CD，BAD=CDA。在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，AB=AE，DC=DF，且BAE=CDF=60，AE=DF，EAD=FDA，AD=DA。AEDDFA（SAS）。AF=DE。 （2）解：如图作BHAD，CKAD，则有BC=HK。BAD=45，HAB=KDC=45。AB=BH=AH。同理：CD=CK=KD。S梯形ABCD=，AB=a，S梯形ABCD=。又SABE=SDCF=，解得：。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质。【分析】（1）根据等腰梯形和等边三角形的性质以及全等三角形SAS的判定证明AEDDFA即可。（2）如图作BHAD，CKAD，
3、利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长。3.（2012江苏南京）如图，梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。【答案】（1）证明：在ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，EF=AC。同理FG=BD，GH=AC，HE=BD。在梯形ABCD中，AB=DC，AC=BD。EF=FG=GH=HE，四边形EFGH是菱形。设AC与EH交于点M，在ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EHBD，同理GHAC。又ACBD，BOC
4、=90。EHG=EMC=90。四边形EFGH是正方形。（2）解：连接EG。在梯形ABCD中，E、F分别是AB、DC的中点，。在RtEHG中，EH2+GH2=EG2，EH=GH，即四边形EFGH的面积为。【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。4. （2012江苏南通）如图，菱形ABCD中，B60，点E在边BC上，点F在边CD上(1)如图1，若E是BC的中点，AEF60，求证：BEDF；(2)如图2，若EAF60，求证：AEF是等边三角形【答案】证明：（1）连接AC。菱形ABCD中，B=60，AB=BC=CD，C=180B=120。ABC是等边三角形。E
5、是BC的中点，AEBC。AEF=60，FEC=90AEF=30。CFE=180FECC=18030120=30。FEC=CFE。EC=CF。BE=DF。（2）连接AC。四边形ABCD是菱形，B=60，AB=BC，D=B=60，ACB=ACF。ABC是等边三角形。AB=AC，ACB=60。B=ACF=60。ADBC，AEB=EAD=EAF+FAD=60+FAD，AFC=D+FAD=60+FAD。AEB=AFC。在ABE和AFC中，B=ACF，AEB=AFC， AB=AC， ABEACF（AAS）。AE=AF。EAF=60，AEF是等边三角形。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角
6、和定理 全等三角形的判定和性质。 【分析】（1）连接AC，由菱形ABCD中，B=60，根据菱形的性质，易得ABC是等边三角形，又由三线合一，可证得AEBC，从而求得FEC=CFE，即可得EC=CF，从而证得BE=DF。（2）连接AC，可得ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得ACF=B=60，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得AEB=AFC，证得AEBAFC，即可得AE=AF，证得：AEF是等边三角形。5. （2012江苏盐城）如图所示,已知、为直线上两点,点为直线上方一动点,连接、,分别以、为边向外作正方形和正方形,过点作于点,过点作于点.(1)如图,当点恰好在直线上时(此时与重
7、合),试说明；(2)在图中,当、两点都在直线的上方时,试探求三条线段、之间的数量关系,并说明理由；(3)如图,当点在直线的下方时,请直接写出三条线段、之间的数量关系.(不需要证明)【答案】解：（1）在正方形中,， ， 。 又, 。又四边形为正方形，。在与中,，。（2）。理由如下：过点作，垂足为，由（1）知：，。,，。 （3） 。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）由四边形、是正方形，可得，又由同角的余角相等，求得，然后利用证得，根据全等三角形的对应边相等，即可得。6.（2011四川成都） 如图，已知线段ABCD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点. (1)若BK
8、=KC，求的值； (2)连接BE，若BE平分ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明再探究：当AE=AD ()，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明【答案】解：（1）ABCD，BK=KC，=.（2）如图所示，分别过C、D作BECFDG分别交于AB的延长线于F、G三点，BEDG，点E是AD的点，AB=BG；CDFG，CDAG，四边形CDGF是平行四边形，CD=FG；ABE=EBC ，BECF，EBC=BCF，ABE=BFC，BC=BF，AB-CD=BG-FG=BF=BC，AB=B
9、C+CD.当AE=AD ()时，（）AB=BC+CD.7.（2012福建三明）正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），BPEACB，PE交BO于点E，过点B作BFPE，垂足为F，交AC于点G（1） 当点P与点C重合时（如图）求证：BOGPOE；（2）通过观察、测量、猜想：= ，并结合图证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图），求的值【答案】解：（1）证明：四边形ABCD是正方形，P与C重合，OB=OP ， BOC=BOG=90。PFBG ，PFB=90，GBO=90BGO，EPO=90BGO。GBO=EPO 。BOGPOE（AAS）。
10、来源:学科网（2）。证明如下：如图，过P作PM/AC交BG于M，交BO于N，PNE=BOC=900， BPN=OCB。OBC=OCB =450， NBP=NPB。NB=NP。MBN=900BMN， NPE=900BMN，MBN=NPE。BMNPEN（ASA）。BM=PE。BPE=ACB，BPN=ACB，BPF=MPF。PFBM，BFP=MFP=900。又PF=PF， BPFMPF（ASA）。BF=MF ，即BF=BM。BF=PE， 即。（3）如图，过P作PM/AC交BG于点M，交BO于点N，BPN=ACB=，PNE=BOC=900。由（2）同理可得BF=BM， MBN=EPN。 BNM=PNE=900，BMNPEN。【考点】几何综合题，正方形和菱形的性质，平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质。
