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1、 第3讲圆中的比例线段与圆内接四边形【2013年高考会这样考】1考查相交弦定理，切割线定理的应用2考查圆内接四边形的判定与性质定理【复习指导】本讲复习时，紧紧抓住相交弦定理、切割线定理以及圆内接四边形的判定与性质定理，重点以基本知识、基本方法为主，通过典型的题组训练，掌握解决问题的基本技能. 基础梳理1圆中的比例线段定理名称基本图形条件结论应用相交弦定理弦AB、CD相交于圆内点P(1)PAPBPCPD；(2)ACPDBP(1)在PA、PB、PC、PD四线段中知三求一；(2)求弦长及角切割线定理PA切O于A，PBC是O的割线(1)PA2PBPC；(2)PABPCA(1)已知PA、PB、PC知二可
2、求一；(2)求解AB、AC割线定理PAB、PCD是O的割线(1)PAPBPCPD；(2)PACPDB(1)求线段PA、PB、PC、PD及AB、CD；(2)应用相似求AC、BD2.圆内接四边形(1)圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补(2)圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆；若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆，特别的，对定线段张角为直角的点共圆双基自测1(2011天津)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB1，PD3，则的值为_ 解析ABCD为圆内接四边形，PBCADP，又PP，BCPDAP，.
3、答案2(2011广州调研)如图，四边形ABCD内接于O，BC是直径，MN与O相切，切点为A，MAB35，则D_. 解析连接BD，由题意知，ADBMAB35，BDC90，故DADBBDC125.答案1253(2011深圳调研)如图，AB是O的直径，D是O上一点，E为的中点，O的弦AD与BE的延长线相交于点C，若AB18，BC12，则AD_. 解析如图，连接AE，AB是O的直径，AEBE，又E是 的中点，BAEEAC，从而E是BC的中点，BEEC6，ABAC18，由CDCACECB，得(18AD)18612，故AD14.答案144(2011广州模拟)如图，过点D作圆的切线切于B点，作割线交圆于A，
4、C两点，其中BD3，AD4，AB2，则BC_. 解析ADBC，DD，ABDBCD，解得BC.答案5如图所示，已知O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E，且AB4，DECE3，则CD的长为_ 解析由相交弦定理知，EAEBECED.(*)又E为AB中点，AB4，DECE3，(*)式可化为22EC(CE3)CE23CE，CE4(舍去)或CE1.CDDECE2CE3235.答案5考向一相交弦定理的应用【例1】(2011广东实验中学质检)如图，半径为2的O中，AOB90，D为OB的中点，AD的延长线交O于点E，则线段DE的长为_ 审题视点 由勾股定理求AD，再由相交弦定理求DE.解析延长DO交圆O于另一
5、点F，易知OD1，则AD.由相交弦定理得，ADDEBDDF，即DE13，DE.答案 相交弦定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解题时要与相似三角形及圆周角、弦切角等相关知识综合应用 .【训练1】 (2011广东)如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD，OAP30，则CP_. 解析依题APPBa，由PDCPAPPB，得CPa.答案a考向二切割线定理的应用【例2】如图所示，PA为O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，PA10，PB5，BAC的平分线与BC和O分别交于点D和E，求ADAE的值 审题视点 由切割线定理知PA2PBPC，可得直径BC的长，要求A
6、DAE，由ACEADB，得ADAECABA，只要求出CA，BA的长即可解如图所示，连接CE，PA是O的切线，PBC是O的割线， PA2PBPC.又PA10，PB5，PC20，BC15.PA切O于A，PABACP.又P为公共角，PABPCA.BC为O的直径，CAB90.AC2AB2BC2225.AC6，AB3.又ABCE，CAEEAB，ACEADB，.ADAEABAC3690. 在圆中通过连接圆上的两点、作圆的切线等可以创造使用圆周角定理、圆心角定理、弦切角定理的条件，这是在圆的问题上解决角之间关系的重要技巧【训练2】 如图，O与O外切于P，两圆公切线AC，分别切O、O于A、C两点，AB是O的直
7、径，BE是O的切线，E为切点，连AP、PC、BC. 求证：APBCBEAC.证明由题意可知APC90，连BP，则APB90，B、P、C在同一直线上，即P点在BC上，由于ABAC，易证RtAPBRtCAB.，即AB2BPBC，又由切割线定理，得BE2BPBC，ABBE，又RtAPBRtCAB，即APBCABAC，APBCBEAC.考向三圆内接四边形性质的应用【例3】(2011辽宁三校联考)已知四边形PQRS是圆内接四边形，PSR90，过点Q作PR、PS的垂线，垂足分别为点H、K. (1)求证：Q、H、K、P四点共圆；(2)求证：QTTS.审题视点 (1)利用PHQPKQ90；(2)先证HKSQS
8、P，TSTK，再证TSQT.证明(1)PHQPKQ90，Q、H、K、P四点共圆(2)Q、H、K、P四点共圆，HKSHQP，PSR90，PR为圆的直径，PQR90，QRHHQP，而QSPQRH，由得，QSPHKS，TSTK，又SKQ90，SQKTKQ，QTTK，QTTS. (1)四边形ABCD的对角线交于点P，若PAPCPBPD，则它的四个顶点共圆(2)四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，若PAPBPCPD，则它的四个顶点共圆以上两个命题的逆命题也成立该组性质用于处理四边形与圆的关系问题时比较有效【训练3】 如图所示，AB是O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是O的割线，过点
9、G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作O的切线，切点为H.求证：(1)C，D，F，E四点共圆；(2)GH2CEGF.证明(1)如图，连接BC.AB是O的直径，ACB90.AGFG，AGE90.又EAGBAC，ABCAEG. 又FDCABC，FDCAEG.FDCCEF180.C，D，F，E四点共圆(2)GH为O的切线，GCD为割线，GH2GCGD.由C，D，F，E四点共圆，得GCEAFE，GECGDF.GCEGFD.，即GCGDGEGF.CH2GEGF.如何求解高考中几何证明选讲问题从近两年的新课标高考试题可以看出，高考对切割线定理的应用及四点共圆问题重点考查，题型为
10、填空题或解答题【示例】 (本题满分10分)(2011新课标全国)如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的顶点重合已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根 (1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若A90，且m4，n6，求C，B，D，E所在圆的半径 第(1)问连DE，证明ADEACB，即证ADEACB，根据对角互补判定四点C，B，D，E共圆；第(2)问先求AD、AB的长，再确定C，B，D，E四点所在圆的圆心，进一步求半径解答示范 (1)连接DE，根据题意，在ADE和ACB中，ADABmnAEAC，即.又DAECAB，从而ADEAC
11、B.(3分)因此ADEACB.所以C，B，D，E四点共圆(4分)(2)m4，n6时，方程x214xmn0的两根为x12，x212.故AD2，AB12.(6分)取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连结DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.(8分)由于A90，故GHAB，HFAC.从而HFAG5，DF(122)5.故C，B，D，E四点所在圆的半径为5.(10分) 本题主要考查平面几何证明，四点共圆，三角形相似，一元二次方程根与系数的关系四点共圆常用的证明方法是求证四边形的一个外角等于与它不相邻的内角，当然也
12、可以求出过其中三点的圆，然后证另一点也在这个圆上，也可以证明以两个点为端点的线段的垂直平分线与以另两个点为端点的线段的垂直平分线相交【试一试】 (2011辽宁)如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且ECED. (1)证明：CDAB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EFEG，证明：A，B，G，F四点共圆尝试解答 (1)因为ECED，所以EDCECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以EDCEBA.故ECDEBA.所以CDAB. (2)由(1)知，AEBE.因为EFEG，故EFDEGC，从而FEDGEC.连接AF，BG，则EFAEGB，故FAEGBE.又CDAB，EDCECD，所以FABGBA.所以AFGGBA
