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1、第八节 正弦定理和余弦定理应用举例 强化训练1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40,灯塔B在观察站C的南偏东60,则灯塔A在灯塔B的( ) A.北偏东10B.北偏西10 C.南偏东10D.南偏西10 答案:B 解析:如图所示,由已知-40-60=80, 又AC=BC,60-50=10. 灯塔A位于灯塔B的北偏西10. 2.海上有三个小岛,其中小岛A,B相距10海里,从A岛望B岛和C岛成60视角,从B岛望C岛和A岛成75视角,则B,C间距离是( ) A.5海里B.海里 C.10海里D.海 答案:B 解析:180-60-75=45, 根据正弦定理. 3.在AB
2、C中,若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则A等于( ) A.90B.60 C.135D.150 答案:B 解析:由题知 . cos.A=60. 4.如图,在ABC中,若A=120,AB=5,BC=7,则 . 答案: 解析:在ABC中,由余弦定理得cos120, 即解之得AC=3. sin. 5.(2011安徽高考,文16)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长，cos(B+C)=0,求边BC上的高. 解:A+B+C=180,B+C=A. 又1+2cos(B+C)=0,1+2cos(180-A)=0, 即1-2cosA=0,cos. 又0A180,A=60. 在ABC中,由正
3、弦定理得,sinB= 又ba,BA,B=45,C=75. BC边上的高sinsin75=sin(45+30) . 见课后作业A 题组一 三角形综合应用问题1.(2011上海高考,文8)在相距2千米的A、B两点处测量目标C,若,则A、C两点之间的距离是 千米. 答案: 2.从A处望B处的仰角为从B处望A处的俯角为则、的关系为( ) A.B. C. D. 答案:B 解析:根据仰角和俯角的定义可知. 3.在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60,塔基的俯角为45,那么这座塔吊的高是( ) A. mB. m C. mD. m 答案:B 4.某人向正东方向走x km后,他向右转150,然后朝新
4、方向走3 km,结果他离出发点恰好 km,那么x的值为( ) A.B. C.或D.3 答案:C 5.一船向正北方向航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60,另一灯塔在船的南偏西75,则这只船的速度是每小时( ) A.5海里B.海里 C.10海里D.海里 答案:C 解析:如图,依题意有,所以, 从而CD=CA=10. 在RtABC中,可得AB=5,于是这只船的速度是海里/小时). 6.有一长为1千米的斜坡,它的倾斜角为20,现要将倾斜角改为10,且坡高不变,则坡底要伸长 ( ) A.1千米B.sin10千米 C.cos10千米D
5、.cos20千米 答案:A 7.在200 m高的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30、60,则塔高为 m.答案: 解析:如图所示,设塔高为h m.由题意及图可知, tan60 解得: m. 8.在ABC中,若c=则A= . 答案:60 解析:cos . 9.在ABC中cos则 . 答案: 解析:在ABC中,cossinsin. 10.ABC中所对的边分别为a,b,c,若a,b,c以此顺序成等差数列,且,则sinA= ,sinC= . 答案: 解析:因为2b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinsincos =2sincos. 因为sincos 所以2sincos 即s
6、incossin 因此sinA+sin. 又sinA-sinC=2cossin =2sin 由得sinsin. 11.如图,一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔10千米,速度为180千米/小时,飞行员先看到山顶的俯角为30,经过2分钟后又看到山顶的俯角为75,求山顶的海拔高度. 解:在ABP中-30=45. 根据正弦定理 . sin75sin(45+30. 所以,山顶P的海拔高度为千米). 12.在海岸A处,发现北偏东45方向,距离1)n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75的方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以 n mile/h的速度追截走私船,此时,走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船? 解:设缉私船用t h在D处追上走私船,如图,则有.在ABC中, 120, 由余弦定理,得coscos120=6. . 又90+30=120, 在BCD中,由正弦定理,得 sin . , 即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船.
