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1、平面图形的镶嵌设计 第 1 页 对平面图形的镶嵌设计的探究 江西省乐平市第二中学 骆文娟用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙,不重叠地辅成一片,这称做平面图形的镶嵌,又称平面图形的密辅. 平面图形镶嵌的条件:每个拼接点处,几个多边形的各内角之和为360,且将相等的边重合.探究一:任意三角形、四边形的镶嵌.1.任意一个三角形的三个不同的内角拼在同一顶点处构成平角,在三角形镶嵌的图案中,每个拼接点处有6个角,可以组成两个三角形的内角和,将相等的边拼接重合.（如图） 图任意一个四边形的四个不同的内角之和拼在同一顶点处构成周角，在四边形镶嵌的图案中，每个拼接点处有个角，恰
2、好是一个四边形的四个内角，将相等的边拼接重合（如图）图探究二：用同一种正多边形的镶嵌.问题1.(1)从正三角形,正方形,正五边形,正六边形中选一种镶嵌平面,哪几种正多边形能镶嵌平面?并说明了理由.分别画出它们镶嵌平面的几何图形.(2)你还能找出其它一种不同的正多边形镶嵌平面吗? 并说明了理由.解(1)正三角形,正方形,正六边形能镶嵌平面,正五边形不能镶嵌平面.镶嵌的平面图形如图3.理由: 正三角形,正方形,正六边形的内角分别是60、90、120,都能被360整除,正五边形的内角是108,不能被360整除.(2)不能.理由:其它正多边形的内角都不能被360整除.图3结论:(1)用同一种正多边形镶
3、嵌的条件：正n边形的内角能被360整除，即 整数时, 可以镶嵌,否则不能. (2)只有正三角形、正方形、正六边形可以镶嵌平面,其它的正多边形不能镶嵌平面.探究三:用两种或三种不同的正多边形的镶嵌.问题2:(1)从正三角形、正方形、正六边形中选两种镶嵌平面,探索这两种不同的正多边形组合起来能镶嵌成几种不同的平面图形?说明你的理由,并画出对应的平面镶嵌图形.(2) 从正三角形、正方形、正五边形、正六边形中选一种,再从其它正多边形中选一种,探索哪两种不同的正多边形组合起来能镶嵌平面,请写出一种.解:(1)分二种情况讨论: 用正三角形与正方形的组合镶嵌平面. 设在一个顶点周围有m个正三角形的角和n个正
4、方形的角,则有60m + 90n =360 , 即 2m + 3n =12,这个方程的整数解只有:因此一个顶点周围有3个正三角形的角和2个正方形的角,符合条件的图形有两种.(如图4)图4 用正三角形和正六边形的组合镶嵌平面.同理可得：一个顶点周围有4个正三角形的角和1个正六边形的角,或者一个顶点周围有2个正三角形的角和2个正六边形的角. 符合条件的图形有两种(如图5).图5(2)正三角形和正十二边形的组合、正方形和正八边形的组合、正五边形和正十边形的组合.结论:用两种不同的正多边形组合起来镶嵌平面只有以上五种组合.问题3.(1)若平面镶嵌图形的某个顶点处有三个不同的正多边形的角,已知两个角分别
5、是正三角形的角和正十边形的角,那么第三个角所在的正多边形边数是多少?并说明理由.(2)你能设计其它用三种不同的正多边形组合起来镶嵌平面的图形吗?并画出对应的平面镶嵌图形.解:(1) 15. 理由:设第三角所在的正多边形边数为n.正十边形的内角为144, 则60+144+=180解得:n=15.(2)正六边形、正方形和正三角形的组合或者正十二边形、正六边形和正方形的组合等.(如图6) 图6结论:镶嵌平面的几个正多边形的边长相等,拼接点处的几个正多边形的内角之和是360,拼接后各正多边形的顶点及边都是公共顶点与公共边.探究四:利用正三角形,正方形等构造“基本单位”图案镶嵌平面.1. 利用正三角形中
6、心与三个顶点的连线构造“基本单位”图案,通过对称拼接镶嵌平面,如图7.拖动点A、B可改变“基本单位”图案图7 2. 利用正方形构造“基本单位”图案,通过4次旋转90拼接成大的“基本单位”图案,再通过平移拼接镶嵌平面,如图8.图88结论:正三角形,正方形等图形能镶嵌平面,利用它们构造“基本单位”图案,通过对称、平移、旋转等拼接镶嵌平面,可设计出很多美丽的图案.探究五:利用一些不同几何图形的组合镶嵌平面.(1)丢勒的镶嵌图案. 如图9,在每个拼接点处有三个正五边形和一个36的菱形.(2)埃舍尔的镶嵌图案.如图10, 根据菱形的对角互补,在每个拼接点处有两个正方形和两个菱形.图10图9 探究六:用不规则的“基本单位”图案镶嵌平面. 构造不规则的“基本单位”图案,通过平移、旋转、对称等拼接镶嵌平面,形成美丽的图案,如图11. =
