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1、随机过程的模拟与特征估计一、实验目的了解随机过程特征估计的基本概念和方法，学会运用MATLAB软件产生各种随机过程，对随机过程的特征进行估计，并通过实验了解不同估计方法所估计出来的结果之间的差异。二、实验原理（1）高斯白噪声的产生提示：利用MATLAB函数randn产生（2）自相关函数的估计提示：MATLAB自带的函数为xcorr（3）功率谱的估计先估计自相关函数，再利用维纳辛钦定理，功率谱为自相关函数的傅立叶变换：提示：MATLAB自带的函数为pyulear（4）均值的估计提示：MATLAB自带的函数为mean（5）方差的估计提示：MATLAB自带的函数为var(6)AR(1)模型的理论自相
2、关函数和理论功率谱对于AR(1)模型自相关函数，功率谱为(7)ARMA(N,N)模型的理论自相关函数和理论功率谱对于ARMA(N,N)模型功率谱为三、实验内容（带*为选作）1. 相关高斯随机序列的产生按如下模型产生一组随机序列，其中为均值为1，方差为4的正态分布白噪声序列。（1）产生并画出a=0.8和a=0.2的x(n)的波形；（2）估计x(n)的均值和方差；（3）估计x(n)的自相关函数。源代码：a=0.8;sigma=2;N=500;u=1+4*randn(N,1);x(1)=sigma*u(1)/sqrt(1-a2);for i=2:N x(i)=a*x(i-1)+sigma*u(i);
3、endsubplot 221plot(x);title(0.8)Rx=xcorr(x,coeff);subplot 222plot(Rx);title(0.8自相关函数)junzhix=mean(x);fangchax=var(x);b=0.2;y(1)=sigma*u(1)/sqrt(1-b2);for j=2:N y(j)=b*y(j-1)+sigma*u(j);endsubplot 223plot(y);title(0.2)Ry=xcorr(y,coeff);subplot 224plot(Ry);title(0.2自相关函数)junzhiy=mean(y);fangchay=var(y
4、);2. 两个具有不同频率的正弦信号的识别设信号为，其中为正态白噪声，方差为。（1） 假定，针对,和, 两种情况，使用周期图periodogram()的方法估计功率谱。sigma=1;N=500;u=sigma*randn(N,1);for i=1:N;x(i)=sin(2*pi*0.05*i)+2*cos(2*pi*0.08*i)+u(i);end;subplot 221plot(x);title(0.05 0.08)subplot 222periodogram(x,512,1000);for j=1:N y(j)=sin(2*pi*0.05*j)+2*cos(2*pi*0.02*j)+u(
5、j);endsubplot 223plot(y);title(0.05 0.02)Ry=xcorr(y,coeff);subplot 224periodogram(y,512,1000);（2） 假定,，针对和两种情况，用周期图periodogram()的方法估计功率谱sigma=1;N=500;u=sigma*randn(N,1);for i=1:N;x(i)=sin(2*pi*0.05*i)+2*cos(2*pi*0.08*i)+u(i);end;subplot 221plot(x);title(1)subplot 222periodogram(x,512,1000);sig=4;M=50
6、0;m=sig*randn(M,1);for j=1:M y(j)=sin(2*pi*0.05*j)+2*cos(2*pi*0.08*j)+m(j);endsubplot 223plot(y);title(4)Ry=xcorr(y,coeff);subplot 224periodogram(y,512,1000);*(3) 假定, 分别用pyulear()、periodogram() 和pburg()估计功率谱。N=512;sigma2=4;f1=0.05;f2=0.08;W=sqrt(sigma2).*randn(1,N);for n=1:N x(n)=sin(2*pi*f1*n)+2*co
7、s(2*pi*f2*n)+W(n);endsubplot(3,1,1),pyulear(x,512,512,1000),title(pyulear);subplot(3,1,2),periodogram(x,twosided,512,1000),title(periodogram);subplot(3,1,3),pburg(x,511,512,1000),title(pburg);3. 理论值与估计值的对比分析设有AR(1)模型，W(n)是零均值正态白噪声，方差为4。l 用MATLAB模拟产生X(n)的500个样本，并估计它的均值和方差；l 画出X(n)的理论的自相关函数和功率谱；l 估计X(
8、n)的自相关函数和功率谱。a=-0.8;sigma=2;N=500;u=sigma*randn(N,1);x(1)=sigma*u(1)/sqrt(1-a2);for i=2:N;x(i)=a*x(i-1)+u(i);end;junzhi=mean(x);fangcha=var(x);for i=1:N;R(i)=(sigma2)*(ai)/(1-sigma2);end;for j=1:998 if j=499 R1(j)=R(500-j); else R1(j)=R(j-499); endendR2=xcorr(x); subplot(2,1,1),stem(-499:1:498,R1,.)
9、,title(随机序列理论自相关函数); subplot(2,1,2),stem(-499:1:499,R2,.),title(随机序列估计自相关函数);figure;Pw=fft(R/50000);f=(0:length(Pw)-1)*1000/length(Pw);subplot 211plot(f,10*log10(abs(Pw);title(随机序列理论功率谱);grid; subplot 212periodogram(x,twosided,512,1000);title(随机序列估计功率谱);grid;四、预习思考题（1）按照公式对方差的估计是有偏估计还是无偏估计？为什么？ 估计量的
10、数学期望等于被估计参数，则称此为无偏估计。 设=g(X1,X2,.,Xn)是未知参数A的一个点估计量，若满足E（）= A则称为A的无偏估计量，否则为有偏估计量。 无偏估计就是系统误差为零的估计。（2） 函数rand和randn的区别？ rand是0-1的均匀分布，randn是均值为0方差为1的正态分布（3） rand(10) ，rand(10,1)， rand(1,10)， rand(10,10)产生的随机数序列的形式如何？即它们到底是列向量，行向量，标量，还是矩阵？ rand(10),rand(10,10)产生的是矩阵，rand(10,1)产生的是列向量，rand(1,10)产生的是行向量（
11、4） 如何产生均值为m，方差为的高斯白噪声序列？ m+*/randn(100)（5）subplot，plot和stem等3个函数在MATLAB绘图中非常有用，请务必掌握。五、实验思考题（1）自相关函数R(m)最大值应该在n=0，用MATLAB估计得到的结果与理论的结果相同吗？为什么？（2）随机序列的功率谱是以为周期的周期函数，功率谱的周期性在MATLAB估计得到的结果中是如何体现的？六、实验要求（1）一人一组完成实验，切勿抄袭；（2）用MATLAB完成所有要求的实验内容；（3）撰写详细的实验报告，实验报告中应该包括以下內容：l 实验内容和原理的简单阐述，分析；l 得到的实验结果图形及简要分析，比较；l 对“实验思考题”的详细分析和回答；l 自己的实验心得（评判实验报告水平高低的重要因素）。
