《2024_2025学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3.2抛物线的简单几何性质课件新人教A版选择性必修第一册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024_2025学年新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.3.2抛物线的简单几何性质课件新人教A版选择性必修第一册（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习目标1.了解抛物线的简单几何性质.(数学抽象)2.能运用抛物线的几何性质解决相关问题.(直观想象、数学运算)3.掌握直线与抛物线的位置关系,并会用方程思想解决此类问题.(逻辑推理、数学运算)基础落实必备知识一遍过知识点1抛物线的简单几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)图形范围x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR对称轴x轴x轴y轴y轴标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)焦点顶点准线离心率e=1通径过焦点且与对称轴垂直的焦点弦,长度等于2p开口方向向右向向向原点(0,0)
2、左上下名师点睛1.抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.2.抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.微思考抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的有何不同?提示抛物线的几何性质与椭圆、双曲线的相比有较大差别,它的离心率为定值1,只有一个焦点,一个顶点、一条对称轴、一条准线,没有渐近线,没有对称中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆、双曲线为有心圆锥曲线.知识点2直线与抛物线的位置关系设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x
3、2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k0,当0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当=0时,直线与抛物线相切,有一个切点;当0),代入y2=8x得m2=24,规律方法规律方法抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用,但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.其中应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标.在解题时,应先注意开口方向、焦点位置,选准标准方程形式,然后利用条件求解.要注意运用数形结合思想,根据抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.探究点二探究点二 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系问题问题4直线与圆锥曲线的位置关系是几何问题的重点直线
4、与圆锥曲线的位置关系是几何问题的重点.类比直线与双曲线类比直线与双曲线位置关系的判断及相应的典型问题位置关系的判断及相应的典型问题,如何判断直线与抛物线的位置关系如何判断直线与抛物线的位置关系?又会有哪些与之相关的几何问题又会有哪些与之相关的几何问题?【例2】已知抛物线y2=2x,过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A,B两点,试求弦AB的中点的轨迹方程.规律方法规律方法1.解决中点弦问题的基本方法是点差法,运算量相对较小.但点差法求轨迹方程时用到了斜率,必须验证斜率不存在的情况.2.直线与抛物线相交于两点,隐含着条件0,求y1+y2及x1+x2是为利用中点坐标公式做准备.3.设直线l:y=k
5、x+b,抛物线y2=2px(p0),将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k20,当0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求直线l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16
6、或(x-11)2+(y+6)2=144.规律方法规律方法AB是抛物线y2=2px(p0)过焦点F的一条弦,称为焦点弦,解决焦点弦问题要善于利用几何问题来优化运算.设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x0,y0),过A,M,B分别向抛物线的准线l作垂线,垂足分别为A1,M1,B1,抛物线的焦点弦有以下结论:探究点四探究点四 与抛物线有关的定点、定值问题与抛物线有关的定点、定值问题问题问题6定点、定值问题体现了几何问题变化过程中的不变性定点、定值问题体现了几何问题变化过程中的不变性,必然是解析必然是解析几何研究的重点内容几何研究的重点内容.对于直线与抛物线来说对于直线与抛物线来
7、说,这些问题经常以哪些形式呈这些问题经常以哪些形式呈现现?又如何解决又如何解决?【例4】已知动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,设动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程.(2)设过点P(1,2)的直线l1,l2分别与曲线C交于A,B两点,直线l1,l2的斜率存在,且倾斜角互补.证明:直线AB的斜率为定值.(1)解动圆经过定点D(1,0),且与直线x=-1相切,E到点D(1,0)的距离等于E到直线x=-1的距离,E的轨迹是以D(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线.曲线C的方程为y2=4x.(2)证明设直线l1的方程为y=k(x-1)+2.直线l1,l2的斜率存在,且
8、倾斜角互补,l2的方程为y=-k(x-1)+2.规律方法规律方法定值与定点问题的求解策略(1)欲证某个量为定值,先将该量用某变量表示,通过变形化简若能消掉此变量,即证得结论,所得结果即定值.(2)寻求一条直线经过某个定点的常用方法:通过含有一个参数的直线方程来判断;先通过特殊情况探求定点,再证明一般情况下此点在直线上;转化为三点共线的斜率相等或向量平行等.本节要点归纳本节要点归纳1.知识清单:(1)抛物线的几何性质及应用;(2)直线和抛物线的位置关系;(3)抛物线中点弦问题,轨迹问题.2.方法归纳:直接法、定义法、待定系数法.3.常见误区:(1)求抛物线方程时焦点的位置易判断失误;(2)数学运
9、算的失误.学以致用随堂检测促达标123451.(例1对点题)已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过点F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,坐标原点O为抛物线的顶点,若OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.12345123452.(例2对点题)设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()B.-2,2C.-1,1D.-4,4C解析由题知Q(-2,0),若直线l的斜率不存在,显然不合题意.故直线l的斜率存在,设为k,则l的方程为y=k(x+2).当k=0时显然符合题意;当k0时,需0,即16(k2-2)2-4k24k20,解得-1k0
10、或0k1.故直线l的斜率的取值范围是-1,1.12345123453.(例2对点题)已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引抛物线的一条弦P1P2,使它恰好被点P平分,求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.12345解由题意知弦所在直线的斜率存在.设直线上任意一点坐标为(x,y),弦两端点P1(x1,y1),P2(x2,y2).P1,P2在抛物线上,两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2).y1+y2=2,弦所在的直线斜率直线的方程为y-1=3(x-4),即3x-y-11=0.联立y2=6x与3x-y-11=0,消去x,得y2-2y-22=0,y1+y2=2,y1y2=-22
11、,123454.(例3对点题)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上,且MNl,则点M到直线NF的距离为()C1234512345123455.(例4对点题)已知抛物线的方程是y2=4x,直线l交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)若弦AB的中点为(3,3),求直线l的方程;(2)若y1y2=-12,求证:直线l过定点.1234512345(2)证明当直线l的斜率存在时,易知k0,设直线l的方程为y=kx+b,代入抛物线方程,整理,得ky2-4y+4b=0,y1y2=-12,b=-3k,直线l的方程为y=kx-3k=k(x-3),过定点(3,0).当直线l的斜率不存在时,y1y2=-12,则x1=x2=3,直线l过定点(3,0).综上,直线l过定点(3,0).
