《2024_2025学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.2.3直线的一般式方程课件新人教A版选择性必修第一册》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024_2025学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.2.3直线的一般式方程课件新人教A版选择性必修第一册（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习目标1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系.(逻辑推理)2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.(数学运算)3.能运用直线的一般式方程解决有关问题.(数学运算)基础落实必备知识一遍过知识点1直线的一般式方程定义:关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.一般式方程可以表示平面内任意一条直线名师点睛1.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.2.直线的一般式方程与其他形式的互化.微思考1.方程y-y0=0是二元一次方程吗?2.直线
2、与二元一次方程的关系是什么?提示是,是A为0的特殊的二元一次方程.提示二元一次方程从形上来看代表直线,直线从代数上通过二元一次方程刻画.知识点2两条直线的位置关系名师点睛直线的一般式方程的法向量若直线l的方程为Ax+By+C=0,则直线l的法向量为n=(A,B),方向向量为(B,-A),法向量与方向向量垂直.两直线平行,则其法向量也平行;两直线垂直,则其法向量也垂直.直线的法向量在讨论直线位置关系时运算相对简单,且可以避免讨论直线斜率不存在的情况.微思考1.两条直线的斜率相等,这两条直线是否平行?2.直线l1:ax+(a+2)y+2=0与l2:x+ay+1=0平行,则实数a的值为-1或2.是否
3、正确?提示不一定,还有可能重合.平行关系的判断,关键在于排除是否重合.提示不正确,没有排除重合的情况.由l1l2知,aa=1(a+2),即a2-a-2=0,a=2或a=-1.当a=2时,l1与l2重合,不符合题意,舍去;当a=-1时,l1l2.a=-1.重难探究能力素养速提升问题问题1直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都是关于直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都是关于x,y的二元一的二元一次方程次方程.这是否说明直线与二元一次方程都有这种关系这是否说明直线与二元一次方程都有这种关系?问题问题2平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关
4、于x,y的二元一次的二元一次方程表示吗方程表示吗?问题问题3任意一个关于任意一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线吗的二元一次方程都表示一条直线吗?探究点一探究点一 直线的一般式方程直线的一般式方程问题问题4直线的其他形式方程可否转化为一般式方程直线的其他形式方程可否转化为一般式方程?本质上说明什么问题本质上说明什么问题?问题问题5直线的一般式方程直线的一般式方程,形式上如何约定其规范形式上如何约定其规范?【例1】根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程.(1)斜率是,且经过点A(5,3);(2)斜率为4,在y轴上的截距为-2;(3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点;(4)在
5、x轴、y轴上的截距分别是-3,-1.思路分析先选择合适的形式将直线方程写出来,再化为一般式.规律方法规律方法直线的一般式方程的特征求直线方程时,要求将方程化为一般式方程,其形式一般作如下设定:x的系数为正;系数及常数项一般不出现分数;一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列.探究点二探究点二 由一般式方程判断两直线平行或垂直由一般式方程判断两直线平行或垂直问题问题6通过直线的一般式方程通过直线的一般式方程,能否看出其蕴含的直线方向特征能否看出其蕴含的直线方向特征?据此据此,如何如何利用直线的一般式方程来判断两直线的位置关系利用直线的一般式方程来判断两直线的位置关系?【例2】(1)已知直线l1:2
6、x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y-2=0平行,求实数m的值.思路分析利用在一般式方程下,两直线平行或垂直的条件求解.解由23-m(m+1)=0,得m=-3或m=2.当m=-3时,l1:x-y+2=0,l2:3x-3y+2=0,显然l1与l2不重合.同理,当m=2时,l1:2x+3y+4=0,l2:2x+3y-2=0,l1与l2不重合.故m的值为2或-3.(2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直,求实数a的值.解由直线l1l2,得(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=1.故当a=1或a=-1时,直
7、线l1l2.规律方法规律方法由直线的一般式方程解决平行与垂直问题的两个等价关系.若直线l1:A1x+B1y+C1=0,直线l2:A2x+B2y+C2=0,A1和B1,A2和B2均不同时为0,则(1)l1l2A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C10(或A1C2-A2C10);(2)l1l2A1A2+B1B2=0.探究点三探究点三 含有一个参数的一般式方程的定点特征含有一个参数的一般式方程的定点特征问题问题7通过直线的点斜式方程通过直线的点斜式方程y-1=k(x-2)很容易看出直线过定点很容易看出直线过定点(2,1),若化若化为直线的一般式方程为直线的一般式方程kx-y+1-2k=0,可否从
8、代数的角度来理解直线过定点可否从代数的角度来理解直线过定点?问题问题8有怎样特征的直线方程会过定点有怎样特征的直线方程会过定点?如何求此定点坐标如何求此定点坐标?【例3】已知直线l:kx-y+1+2k=0(kR),则该直线过定点.(-2,1)解析直线l:kx-y+1+2k=0,即k(x+2)+(-y+1)=0,当x=-2,y=1时,k无论取何值,方程都成立.该直线过定点(-2,1).本节要点归纳本节要点归纳1.知识清单:(1)直线的一般式方程;(2)直线五种形式方程的互化;(3)利用直线方程判定直线的平行与垂直位置关系.2.方法归纳:分类讨论法、转化化归.3.常见误区:(1)容易忽视直线斜率不
9、存在的情况;(2)容易忽视两直线重合的情况;(3)容易对于直线的一般式方程形式化简不彻底.学以致用随堂检测促达标1231.(例1对点题)根据下列各条件写出直线的方程,并化成一般式.(1)斜率是-,经过点A(8,-2);(2)经过点B(4,2),且平行于x轴;(3)在x轴和y轴上的截距分别是,-3;(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).1231232.(例2对点题)已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0.求:(1)过点A和直线l平行的直线方程;(2)过点A和直线l垂直的直线方程.解(1)将与直线l平行的直线方程设为3x+4y+C1=0.又过点A(2,2),所以32+42+C1=0,解得C1=-14.所求直线方程为3x+4y-14=0.(2)将与直线l垂直的直线方程设为4x-3y+C2=0,又过点A(2,2),所以42-32+C2=0,所以C2=-2,解得直线方程为4x-3y-2=0.1233.(例3对点题)直线(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0恒过定点.(-1,-2)
