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1、712-2 微分和导数的几何解释和物理解释2-2 微分和导数的几何解释和物理解释1.微分和导数的几何解释 莱布尼茨当初是借助几何直观定义函数的微分和导数.近代微积分是借助极限定义函数的微分和导数.如图2-4，因为比值是弦的斜率，当时，点沿曲线无限接近点， 所以曲线在点处切线的斜率就是导数图2-4法线BTdyANx切线POyQ 根据直线方程的点斜式，切线的方程就是其中，和为切线上流动点的坐标.我们可以得出下面的结论：曲线在点处有不垂直于轴的切线，充分必要条件是函数在点可微分；当很小时，曲线接近它在点处的切线 其中这就是说，在点近旁，曲线段看作直线段（切线）是合理的.【注】 当（无穷导数）时，说明
2、曲线在点处有垂直于轴的切线.在点处垂直于切线的直线，称为曲线在点处的法线(图2-4).因此，当时，曲线在点处法线的斜率为（相互垂直两直线斜率的乘积等于），从而法线方程就是 (点斜式)其中和为法线上流动点的坐标.其次，在图2-4中，从初等数学的角度说，把“微分三角形”和“增量三角形”看作全等当然是不对的.但从变量数学的观点来说，把和看作“相等”是合理的 因为，所以三角形和三角形“全等”(这里说的“全等”是指对应边为等价无穷小量).于是，把弧的长度、弦长和微分三角形的斜边长都看作“相等”是合理的.因此，在微积分中就认为 或 (2-4)我们就称式(2-4)为弧长的微分形式或弧微分.函数的微分和导数的
3、这些几何解释，是微积分能够应用于几何学的基础.微积分中有许多结论，最初都是根据几何图形上的启示得到的.例如图2-5，曲线在最高点的切线或在最低点的切线都是水平的(即切线的斜率等于0).这就是下面的重要结论(以后会多次用到它).图2-5Ox0x切线y定理2-1 设函数在含点的某区间内有定义.若函数在点取到最大值或最小值，即或，而且有导数，则.证 不妨认为函数在点取到最大值根据函数在点的可微性，则有(注意)(反证法) 假若，则当足够小时，与有相同的符号.于是，当与同符号时，上式右端大于0.这与上式左端矛盾.2.微分和导数的物理解释 当一个质点沿直线以常速匀速运动时，它在时间间隔内经过的路程为，即与
4、成正比.因为，所以 或 (见图2-6)假若质点沿直线的运动不是匀速的，为了更精确地研究质点的运动，就要引入质点在时刻的“瞬时速度”这个概念.例如运动着的物体的冲量和动量中的速度就是瞬时速度.vOdtv = v(t)t 图2-7ds 图2-6v O t t+dt t vds设想质点从时刻到时刻这段时间内经过的路程为，而把平均速度的极限称为质点在时刻的瞬时速度是合理的.而当很小时，微分(看作有限量)就是质点在时间间隔内实际经过路程的近似值(图2-7).例如，从静止点自由落下的物体(图2-8)，从中学物理中知道，路程公式为 图2-9AtBt+tOtvDEdsC图2-8Os (其中为重力加速度)所以它
5、在时刻的瞬时速度为而在时刻的微分是物体在时间间隔内实际经过路程(图2-9中梯形的面积)的近似值(图2-9中矩形的面积).根据同样的道理，若质点沿直线运动的速度为，则它运动的加速度是速度对时间的变化率，即于是，作用到物体上的力为 (牛顿第二定律)因此，物理学中说，作用到物体上的力是物体产生加速度的原因.x x+x x 图2-10f (x)f (x) 图2-11x x+dx xOydw再如质点在常力的作用下移动的距离为，则这个常力(恒力)所做的功为. 可是，若这个力是沿某轴方向的变力(图2-10)， 而某物体在这个力的作用下沿轴移动的距离为，则当很小时，可以认为变力所做的功为(合理假设).因此，变
6、力所做的功的微分形式就是(图2-11).函数的微分和导数的这些物理解释，是微积分能够应用于物理学和力学的基础.习题和选解1.设曲线(见图2-4)，其中有导数. 求证： ； ； ； .2.求曲线在点的切线方程和法线方程.答案：3.设函数在闭区间上有定义，且存在单侧导数和.若在左xyOabxyOab切线切线第3题图端点取到最小值，且在右端点 取到最大值；或在左端点取到最大值，且在右端点取到最小值(见第3题图).证明证 不妨认为在左端点取到最小值，且在右端点取到最大值第3题图.于是，（因为）, （因为）.因此，.4.设函数在有限开区间内有导数且存在单侧导数和.若，则必有点，使.(达布定理)证 因为函数在开区间内有导数，所以它在内连续；又存在单侧导数和，所以它在区间端点上也连续，即它在闭区间上连续.因此，它在闭区间上有最大值和最小值.可是，它在区间端点上不能同时取到最大值和最小值，否则就有(第3题的结论)，这与假设条件矛盾.这就是说，函数在开区间内至少在某点取到最大值或最小值.根据定理2-1，.【注】若函数在某有限或无限区间内的导数，则导数在这个区间内不会改变符号.5.设函数在有限开区间内有导数，且存在单侧导数与.若有常数，使 或 则必有点，使.(达布定理的推广)提示：不妨认为是.作辅助函数71
